Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Кажется, первым из больших математиков Франции свое отношение к парадоксам теории множеств высказал Адамар в уже упоминавшейся заметке [3]. Указав на парадокс Бурали-Форти, Адамар завершает эту заметку словами: «Значит, изучение трансфинитного приводит к некоторому числу противоречивых следствий. А почему бы и нет? Разве не появлялись парадоксальные заключения, когда начинали вводить иррациональные чис-
38 Его работой, где он тоже рассматривал этот вопрос, помещенной в «Scien-tia», 1912, 12, мы не располагали.
39 Вторично этот парадокс Ришар опубликовал в 1906 г. [2].
40 Обо всех указанных парадоксах см., например, Клини [1, с. 40—43].
122
ла, числа отрицательные, числа мнимые? Быть может, мы находимся на одном из таких же поворотов науки, и следует предоставить будущему задачу выяснения этих неясностей, которые должны лишь заставить нас еще больше интересоваться понятиями, в связи с которыми они возникают» [3, с. 242].
В очередной заметке [4], включающей в себя письмо Ришара [1], а также упоминание о парадоксе .Кантора множества всех множеств, Адамар вновь возвращается к проблеме парадоксов. Но прежде, чем говорить о ней, остановимся на парадоксе Ришара и предложенном им способе его решения.
Последний сформулировал свой парадокс следующим образом. Множество чисел, обозначенное им через Е, он построил так. Выписываются все пары букв французского алфавита в алфавитном порядке; затем в том же порядке выписываются все тройки букв алфавита; затем все четверки и т. д., причем в записанных расположениях букв одна и та же буква может повторяться. Получается таблица расположений букв. Каково бы ни было целое число р, всякое расположение из двадцати шести букв французского алфавита по р букв в каждом окажется в указанной таблице. Поскольку определение всякого числа формулируется в словах, а слова образуются из букв, то некоторые из построенных расположений будут являться определениями чисел. Расположения, не являющиеся такими определениями, вычеркиваются из таблицы. Оставшиеся расположения букв будут в определенном порядке представлять последовательность чисел, определимых при помощи конечного числа слов, и их можно занумеровать в соответствии с местом, занимаемым в оставшейся таблице. Следовательно, такие числа образуют счетное множество Е.
Теперь построим число а следующим образом. Берем в качестве целой части а значение 0; затем берем п-е число множества Е, и если число р—п-я цифра десятичного разложения этого числа, не равная ни 8, ни 9, то полагаем, что п-я цифра у а равна р+1; если же р равно 8 или 9, то п-ю цифру у а полагаем равной 1. Построенное число а не принадлежит множеству Е, поскольку оно отлично от каждого из чисел этого множества. Вместе с тем, беря в качестве определения числа а только что описанный способ его построения, мы вынуждены заключить, что оно должно принадлежать множеству Е, ибо это определение содержит конечное число слов, a E включает в себя все числа, определимые при помощи конечного числа слов. Это и есть первоначальная форма парадокса Ришара.
Сам он предложил такое его решение. «Покажем, что это противоречие является лишь кажущимся. Возвратимся к нашим расположениям букв. Группа букв G — определение числа а — является одним из этих расположений; она, следовательно, содержится в моей таблице. Однако место, которое она занимает, не имеет смысла. Оно связано с множеством Е, а последнее еще не определено. Значит, я должен буду вычеркнуть его. Группа G
123
имеет смысл лишь тогда, когда множество E является вполне определенным (est totalement defini), а это возможно лишь посредством бесконечного числа слов. Следовательно, противоречия нет» (Ришар, [1, с. 541]).
Если перевести это рассуждение на более поздний язык Пуанкаре, то можно сказать, что определение числа а непредикативно, поскольку а должно принадлежать Е, а вместе с тем оно определяется через само множество Е. Следовательно, Ришар в 1905 г., еще не располагая понятием непредикативности в смысле Пуанкаре*1, воспользовался ею в попытке разрешения указанного противоречия.
Статья Адамара «Принципы математики и проблема множеств» [4] является изложением и осторожной критикой программы Гильберта обоснования логики и арифметики, на чем мы не будем останавливаться. Но вместе с тем он говорит в ней и о парадоксах теории множеств. Включив в нее письмо Ришара [1 ], Адамар к ранее упоминавшемуся парадоксу Бурали-Форти присоединяет еще парадокс Кантора мощности множества всех множеств, о котором он узнал из сообщения Гильберта на Гей-дельбергском конгрессе **.
Адамар не считает полезным предложение Гильберта рассматривать понятие множества первичным по отношению к понятию элементов, образующих это множество, по крайней мере для разрешения парадоксов (с. 542). Приведенное соображение Ришара он полагает имеющим общее значение при рассмотрении парадоксов, но смысл его видит в том, что объявляет ришаров-ское множество E просто несуществующим, поскольку, «чтобы образовать множество из некоторых элементов, нужно еще, чтобы они существовали заранее» (с. 542). Аналогично он отказывает в существовании множеству всех порядковых чисел в парадоксе Бурали-Форти и не соглашается с его решением, только что предложенным Ф. Бернштейном, не приводя никаких доводов.
