Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Затем последовательно доказывается, что существует вообще нерациональное значение х — такое, что \F(x) \ =е и е не может быть отличным от нуля.
Порочный круг исчез, поскольку в определении е фигурирует только понятие множества E', а е вообще не принадлежит E'.
3" Заметим, что для обозначения нижней грани множества Пуанкаре, следуя обычаю того времени, пользуется словами «нижний предел»; затем он говорит о нижнем пределе, или минимуме, что в данном случае законно, поскольку F непрерывна. Непонятно, почему Френкель и Бар-Хиллел [1, с 220, 2211, указывая на соображения Пуанкаре, говорят о максимуме функции Конечно, для вопроса о непредикативности это несущественно, так как эти соображения одинаково применимы и к верхней грани, или максимуму, но вряд ли целесообразно было делать такую подмену.
120
Если мы с некоторым вниманием проверим подробности доказательства (впрочем, хорошо известного), общие линии которого мы напомнили, то увидим, что именно в этом состоит его подлинный смысл.
Вообще, если, например, мы рассматриваем множество E положительных действительных чисел, то можно доказать, что это множество имеет нижний предел е; этот нижний предел определяется после множества Е, и порочного круга нет, поскольку е вообще не принадлежит Е. В некоторых частных случаях может произойти, что е будет принадлежать Е. В этих частных случаях уже нет порочного круга, поскольку е не принадлежит E в силу его определения, а значит, его нет и в доказательстве, производимом после одновременных определений E и е» (с. 199).
Мы, признаться, не поняли существа выхода из порочного круга, предложенного Пуанкаре, а также его описания Френкелем и Бар-Хиллелом [1, с. 220, 221]. Даже если забыть о том, что Пуанкаре отрицал понятие актуально бесконечного множества, а здесь он пользуется им как вполне законным понятием, можно заметить следующее.
Конечно, если значение х, для которого \F(x)\=e, является иррациональным, то это значение не принадлежит множеству E' по самому определению последнего, и порочного круга в определении нет.
Но, во-первых, Пуанкаре ведет речь о нижней грани е множества значений \F(y)\, нигде не формулируя определения этого понятия. Между тем понятие нижней грани всякого множества действительных чисел определяется как наибольшее из чисел, которые не превосходят ни одного из чисел этого множества37. В частности, если E' есть множество действительных чисел, образованное значениями 1^(*) | при рациональных х, то и его нижняя грань е подпадает под это определение, а значит, непредикативна в соответствии с рассуждением Пуанкаре. Он же в словах «пусть е — нижний предел или минимум значений множества Ег» считает его допустимым. Так что, отвергая непредикативность в определении грани множества Е, он сохраняет аналогичную непредикативность в определении грани множества E'.
Во-вторых, даже если допустить, что поскольку множество E' проще множества E (первое счетно, а второе нет), то с непредикативностью определения грани у E' расправиться легче, как-то согласиться с ней, все же остается один момент, уже отмеченный самим Пуанкаре. Действительно, если принять существование нижней грани е у E', то значение х, в котором F(x) = e, будет вообще иррациональным.. Но может случиться, что это х окажется рациональным, и тогда е принадлежит E'. Непонятно, из чего Пуанкаре заключает в последнем предложении, что «е не при-
37 См, например, Валле-Пуссен [1, с. 12].
121
надлежит E в силу его определения», хотя в предыдущем предложении он говорил, что е принадлежит Е.
Отметим, что последний абзац приведенной цитаты взял на вооружение Цермело [2, с. 193], чтобы отвергнуть упрек Пуанкаре в применении в доказательстве Цермело теоремы Кантора— Бернштейиа иепредикативного множества, о котором мы -упоминали.
На этом мы закончим с вопросом о непредикативных определениях в трактовке Пуанкаре38. Как мы сказали, вопрос этот весьма сложен и его трудно осветить в правильной исторической перспективе в настоящее время.
§ 6. Отношение к парадоксам теории множеств
Парадоксы теории множеств начали сознательно формулироваться именно в рассматриваемый нами период. Первый из них, относящийся к множеству всех порядковых чисел, открыл около 1895 г. сам Кантор и сообщил о нем в письме Гильберту; через некоторое время его переоткрыл Бурали-Форти, опубликовав его содержание в 1897 г. В 1899 г. Кантор же открывает второй парадокс, связанный с мощностью множества всех множеств и письменно сообщает о нем Дедекинду. В 1902 г. Рассел открыл и в 1903 г. опубликовал свой парадокс множества всех множеств, не являющихся собственными элементами; его же независимо обнаруживают Фреге и Цермело. В 1905 г. публикуется письмо Ришара [1,], содержащее парадокс, связанный с конечной определимостью J°, который, по существу, установил тогда же и Диксон40. На Международном конгрессе математиков в Гейдельбер-ге (1904 г.) Гильберт поставил проблему разрешения этих антиномий как одну из первоочередных задач математиков.
Решение указанных и вновь появлявшихся парадоксов пытались найти как некоторые из названных выше ученых, так и многие другие (Пеано, Бернштейн, Шёнфлис, Журден и т. д.). Не остались в стороне и их французские коллеги. Конечно, как это видно из современного далека, их попытки не могли привести к успеху. Но соображения, высказанные при этом, представляют определенный исторический интерес.
