Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В целом же к аксиоме Цермело он относился отрицательно. «Верно, что я пользуюсь словом „выбрать" в смысле „ назвать"', а для рассуждения Цермело достаточно, быть может, что слово „выбрать" означает „помыслить о". Следует, однако, заметить, что не указывается тот, кто мыслит, и что в рассуждении г. Цермело тем не менее требуется, чтобы определенное соответствие мыслилось все время одним и тем же. Адамар полагает, как мне кажется, что необязательно, чтобы доказывалась возможность определить некоторый элемент (и только один); отсюда, по-моему, и проистекают расхождения в оценке. Имеется ...трудность, которую Вы указали, в связи с бесконечностью выборов..., и если хотят рассматривать рассуждение г. Цермело как совершенно общее, то нужно допустить, что речь идет о бесконечной совокупности выборов, бесконечности, быть может, весьма высокой мощности; при этом не дается ни закона этой совокупности, ни закона одного из выборов... Итак, когда я детально рассматриваю рассуждение г. Цермело, как, впрочем, и многие общие рассуждения о множествах, я нахожу слишком мало кро-некеровского в нем, чтобы приписать ему смысл» (с. 267). Из таких общих рассуждений Лебег указал на теоремы, что всякое несчетное множество содержит подмножество мощности J^1 и что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество,
108
и это явилось одним из первых указаний на применение аксиомы выбора в давних доказательствах23.
Ознакомившись с письмом Лебега, Адамар [6] констатироват радикальное различие между взглядами Бореля, Бэра и Лебега, с одной стороны, и своими, с другой. Это различие он усмотрел в том, что первые в вопросах существования принимают «точку зрения Кронекера, которая, как я полагал до сих пор, была свойственна лишь ему» (с. 269) и которая-заключается в том, что существование математического объекта ставится в зависимость от способа доказательства этого существования (с. 268). Адамар в письме к Борелю не согласился с такой концепцией, и особенно ему не понравились точки зрения Бэра и Бореля из-за их субъективности: «Основной вопрос — вопрос о том, может ли множество быть вполне упорядоченным — не имеет, очевидно, для Бэра (а также для Лебега и тебя) того же смысла, какой он имеет для меня. Я скорее скажу: возможно ли упорядочение? (даже не возможно ли упорядочить? — из-за боязни подумать: а что это означает?); Бэр спрашивает: можем ли мы упорядочить?— По-моему, вопрос совершенно субъективный» (с. 270). А говоря затем о множестве функций действительного переменного, Адамар продолжает: «Кантор рассматривал множество всех функций, которые на интервале (0, 1) принимают лишь значения 0 и 1. Это множество, по-моему, имеет ясный смысл и его мощность равна 2х... Какой смысл имеет все это для тебя? Мне кажется очевидным, что это для тебя не имеет никакого смысла, так как на всякую функцию ты накладываешь дополнительное ограничение, не имеющее никакого математического смысла,— условие быть описуемой для нас» (с. 272). Сам Адамар признавал объективное существование математических объектов, но здесь он не конкретизировал, в каком смысле следует понимать эту объективность — в платоновском или каком-либо другом.
В заключительном письме рассматриваемой переписки Борель [32] в основном ограничился защитой от содержащегося а только что приведенных словах косвенного упрека Адамара в непоследовательности Бореля, который, вопреки своим неоднократно высказывавшимся взглядам, пользовался множеством всех действительных функций, да и вообще нередко применял довольно общие теоретико-множественные рассуждения. Здесь Борель указал, что такие рассуждения он рассматривает как удобное эвристическое средство, и считал, что они «могут навести на другие, более серьезные рассуждения» (с. 272).
В 1906 г. свое отношение к аксиоме Цермело выразил и Пуанкаре [4, с. 140—142]. Он, прежде всего, подчеркнул ее важность и распространенность в математических рассуждениях. Затем он
Эти утверждения доказываются обычно с явным или неосознанным применением аксиомы Цермело. Этого Лебег прямо не говорит, но из контекста видно, что он имел в виду как раз это.
109
выразил мнение о безнадежности намерения Рассела доказать ее. А его собственное отношение к ней ясно выражено в таких словах: «Аксиома „самоочевидна" для конечных классов; но если она недоказуема для бесконечных классов, то она, несомненно, недоказуема также для конечных классов, которых на этой стадии теории еще не отличили от первых; она, значит, есть синтетическое априорное суждение, без которого была бы невозможна „количественная теория" как для конечных чисел, так и для бесконечных» [4, с. 142].
В отношении же к основанному на аксиоме произвольного выбора доказательству Цермело теоремы о полном упорядочении он занимал позицию, близкую к бореле-бэровской: «Возьмем для примера теорему Цермело, по которой континуум может быть преобразован во вполне упорядоченное множество. Канторианцы будут пленены строгостью, действительной или кажущейся, доказательства; прагматисты им ответят: „Вы говорите, что вы можете преобразовать континуум во вполне упорядоченное множество— хорошо, преобразуйте!".— Это будет слишком длительно.— Тогда, по крайней мере, покажите нам, что кто-либо, имеющий достаточно времени и терпения, мог бы произвести это преобразование.— Нет, мы этого не можем, так как число операций, которые необходимо проделать, бесконечно, оно даже больше, чем алеф-нуль.— Можете ли вы показать, как можно выразить в конечном числе слов закон, который бы позволил упорядочить континуум?—Нет, и прагматисты заключают, что теорема лишена смысла или неверна, или, по крайней мере, не доказана» [7, с. 78, 79]Несколько ранее (1906 г.) он, характеризуя взгляды Рассела в отношении аксиомы выбора, писал: «Таким образом, г. Рассел еще надеется, что можно доказать дедуктивно, исходя из других постулатов, что аксиома Цермело ложна или истинна. Бесполезно прибавлять, сколь малосбыточной представляется мне эта надежда» [4, с. 142],— интересное для 1906 г. утверждение, хотя его обоснование Пуанкаре, приведенное в первой из цитат, путем ссылки на то, что эта аксиома является априорным синтетическим суждением, и неубедительно. Спустя некоторое время Пуанкаре [5, с. 868] высказался еще категоричнее: по его словам, даже более ясные, чем наличные, логические понятия не решили бы вопрос об аксиоме Цермело.
