Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Было бы слишком смелым сопоставлять эти соображения Бореля с рядом положений современной конструктивной теории функций, однако родство их несомненно, и последнее предложение небезынтересно, в частности, потому, что в современном конструктивном анализе всякая конструктивная функция непре-
13 Далее мы цитируем и ссылаемся на вариант этой статьи, опубликованный Борелем в 1914 г [48, с. 217—256].
100
рывна. Такое сопоставление потребовало бы привлечения слишком большого материала как из творчества самого Бореля, так и из истории конструктивного направления в математике, а это могло бы быть темой самостоятельной работы хотя бы потому, что Борель не ограничивался общими декларациями, вроде приведенных, которых, кстати, у него было немало и в последующие годы но и практически осуществлял -их К тому же намеченная эволюция представлений Бореля о понятии функции не была столь прямолинейной.
Бэр не оставил большого числа общих высказываний о понятии функции. Выше мы привели одно из них, так как оно, на наш взгляд, наиболее четко характеризует его отношение к этому понятию, проявившееся в действительном математическом творчестве, ибо главным содержанием бэровских работ было изучение функций, получаемых из непрерывных при помощи предельного перехода всюду. Что касается функций более общего вида, то он не касался вопросов их существования даже после лебеговского примера функции, не являющейся ?-функцией.
Правда, некоторые места его работ кажутся противоречащими такому представлению. Так, в той же диссертации он намечает и другой подход: «После того, как определена самая общая функция по Дирихле, мы приходим к разделению функций на различные категории в зависимости от того, обладают ли они или нет некоторым свойством; так, например, функция может быть непрерывной или разрывной, интегрируемой или неинте-грируемой, точечно или тотально разрывной, может обладать или нет производной. Каждое из этих различений приводит к частному исследованию, и все эти исследования носят следующий характер: мы пытаемся наложить на самую общую функцию то или иное ограничение, выражаемое простым определением, чтобы получить другие простые следствия» [5, с. 1]. Столь же определенно он высказался и в книге «Теория разрывных функций» [10, с. 3] и даже указал (с 11), что если стать на точку зрения, высказанную в приведенных ранее словах, т. е. рассматривать только функции, получаемые из простых функций при помощи некоторых аналитических операций, то рано или поздно придется прибегнуть ко второму подходу. Тем не менее это противоречие является лишь кажущимся. Второй подход Бэр только декларировал, первый же осуществлял на деле.
Из общих соображений Лебега, относящихся к концепции функции, здесь мы остановимся только на двух.
Первым является подчеркивание им связи математического понятия функции с понятием физического закона: «Именно физике обязана математика общим понятием функции; идея функции вытекает из идеи физического закона» [45, с 3].
Лебег не первый высказал это соображение; несколько раньше его сформулировал Бутру на II конгрессе философов [1,
14 Часть из них приведена в статье Монны [1, с 79—81]
101
с. 909—910, 919]. Мы не будем касаться той полемики, которая возникла по поводу указанной статьи Бутру и относилась главным образом к вопросу о взаимосвязи понятия функции и логико-математического понятия отношения — интересной самой по себе, но не нашедшей отражения в творчестве Бореля, Бэра и Лебега. Бутру был, вероятно, прав, когда писал в 1905 г., что математики, занимавшиеся разработкой теории функций, «не пользуются логикой [математической.— Ф. M.] и совсем не знакомы с ее недавними достижениями» [2, с. 621]. Напротив, идея связи понятий функции и физического закона встретила поддержку не только у Лебега, но и у других ученых15. И Лебег попытался, хотя, на наш взгляд, не совсем удачно — напомним, что эта статья не была опубликована им,— проанализировать ее и проследить исторически [45, с. 3—11].
Непосредственно после приведенных слов Лебег продолжает: «Что содержит физический закон? Прежде всего одну часть, в некотором роде качественную: те или иные условия, оказывающие влияние только на такой-то факт; затем количественную часть: точную формулировку соответствия между изучаемым фактом и обстоятельствами, влияющими на него.
Длина железного прута при 0° и заданная температура являются единственными условиями, влияющими на его длину при этой температуре,— вот физический закон, сведенный к его количественной части. Конечно, этот закон неточен; он даже сомнителен, так как, вероятно, все влияет на все, и нельзя указать никакого закона, в который входит лишь конечное число условий. Однако это несущественно: достаточно, чтобы имелась... идея физических законов природы в том, что я рассматриваю, чтобы одновременно получить и идею функции. Указанный выше закон расширения на современном математическом языке формулируется так: длина железного прута в настоящий момент есть функция его температуры и его длины при 0°. Здесь идея закона и функции совпадают, да и всякий физический закон, относящийся к фактам и условиям, уточненным в числах, приводит к некоторой функции.
