Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Знать количественную часть закона расширения железного прута—это значит сказать, какая функция его начальной температуры и его длины при 0° равна истинной длине железного прута.
Следует заметить, что ничто не позволяет нам утверждать до опыта, что эта функция будет выражаться с помощью аналитических знаков; другими словами, ничто не позволяет нам говорить заранее, является ли эта функция или нет одним из тех аналитических выражений, о которых говорил Лагранж» [45, с. 3].
15 Укажем, к примеру, Вольтерру [2, с. 692], распространившего эту связь не только на понятие функции действительного переменного, но и на понятие функционала.
102
Мы не можем утверждать категорически, что такой взгляд на идею функции оказал непосредственное влияние на чисто математическое творчество Лебега. Однако заслуживает внимания то обстоятельство, что рукопись Лебега «По поводу некоторых недавних математических работ», выдержки из которой мы привели выше, и его фундаментальный мемуар «О функциях, пред-ставимых аналитически» [21], написанные примерно в одно и то же время, перекликаются в ряде существенных пунктов.
И там [45, с. 1], и здесь [21, с. 139] автор отправляется от общего определения функции действительного переменного; в обоих случаях [45, с. 3; 21, с. 139] сопоставляются идеи функции как соответствия и как аналитического выражения; в приведенных выше заключительных словах выражается сомнение в возможности аналитического представления любого физического закона, а одним из главных результатов работы [21] является построение примера функции, не могущей быть представленной при помощи наиболее мощных в то время аналитических операций; в [45, с. 37—38] он выражает сомнение в законности самого общего определения функции, а в [21] он вводит некоторое ограничение на общий объем понятия функции. Это ограничение и является тем вторым соображением Лебега, на котором мы предполагаем остановиться.
Его он сформулировал следующим образом: «Объект является определенным или заданным, когда мы произносим конечное число слов, применяющихся к этому объекту и только к нему, т. е. когда мы назвали характеристическое свойство обь-екта. Чтобы задать функцию f(xlt хг, хп), мы вообще называем свойство, относящееся ко всем множествам чисел
Xi, X2, ¦ . . , Xn, f (Xi, X2, • • ¦ , Xn)
и только к ним. Но это совсем не необходимо: можно назвать другое характеристическое свойство этой функции. Это, например, делают, когда для определенной каким-либо образом функции f(x) утверждают, что F(х) является той из примитивных для f(x), которая обращается в нуль при х=0. Мы также называем функцию, говоря, что она равна нулю или единице в зависимости от того, является ли константа Эйлера С рациональной или нет.
Не следует, впрочем, думать, что функция обязательно определена лучше, когда мы задаем характеристическое свойство множества у, хи х„, так как такое свойство вообще не позволяет вычислить у. Например, функция %(х) на с. 140", имеющая даже известное аналитическое представление, неизвестна для х=С, хотя мы умеем вычислять С с любым числом десятичных знаков, а если мы знаем ее для х = л, то не ее аналитическое выражение дает нам это знание» [21, с. 205, 206].
" 1(*) —известная функция Дирихле, равная 1 для рациональных значений ж и 0 для иррациональных значений х.
103
Ясно, что задать функцию при помощи предельных переходов всюду — это значит не выйти за пределы тех функций, которые можно «назвать» (nommer) в смысле Лебега, т. е. В-фуак-ции относятся к «называемым» функциям. Чтобы показать, что последние образуют более обширную категорию, Лебег ввел особую операцию, которую он назвал «наложением на континуум» (application sur Ie continu), т. е. операцию сопоставления каждой точке і сегмента [О, IJ самое большее одного элемента рассматриваемого множества (точек, функций и т. п.), причем в качестве существенного требования выставил требование «назвать» это наложение [21, с. 200—207J. Анализируя с этой точки зрения канторовское доказательство утверждения, что множество всех действительных функций имеет мощность, большую мощности континуума, Лебег [21, с. 207] перестраивает его следующим образом.
Допустим, что такое наложение возможно для какого-либо множества ff" функций одного действительного переменного, заданных на 0^1^ 1. Определим функцию F(t) так:
1, если рассматриваемому значению / в предположенном наложении соответствует функция, обращающая-ся в нуль для этого t,
0 в остальных точках.
Тогда функция F не может принадлежать множеству ОТ. Действительно, если бы она принадлежала ^F1 то в предположенном наложении ей отвечала бы некоторая точка ^0. в которой F(t0) было бы равно нулю или нет; предположение F(to)=0 влечет F(t0) = l, а предположение F(t0)Ф0 влечет F(ta)=0 по самому построению F (t) ".
«Именно это рассуждение передают обычно словами, что существует функция, не принадлежащая или что мощность множества функций превосходит мощность множества функций из SF'. Чтобы быть точным, мы должны только сделать вывод: или невозможно назвать наложение множества ОТ на континуум или же можно назвать функцию F, не принадлежащую @~.
