Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В некотором смысле противоположный путь в отношении к трансфинитным числам проделал Бэр. В его исследованиях трансфинитные числа играли более существенную роль, чем в научном творчестве Бореля: они нужны были ему и при доказательстве теоремы о функциях первого класса, и при введении его классификации, и в ряде других вопросов. Поэтому, начиная с первых работ и кончая последним существенным исследованием, он постоянно пользуется ими как необходимым средством рассуждений. В первых своих заметках [2, 3] он вводит их в качестве символов для обозначения последовательных производных заданного множества (как это делал первоначально и Кантор) и последовательных классов своей классификации, просто
7 К этому мы еще возвратимся несколько далее.
94
ссылаясь на работы Кантора и не выражая своего отношения к ним, кроме, разумеется, того косвенного указания, что он демонстрирует их полезность и даже необходимость в рассматриваемых им вопросах математики.
В диссертации [5] он более осторожен. После введения производных множеств трансфинитных порядков Бэр пишет: «Относительно этого я раз и навсегда замечу, что мы никогда не будем заниматься трудностями, к которым приводит абстрактное понятие трансфинитного числа само по себе, хотя мы и будем пользоваться им на протяжении этой работы. В настоящем случае, например, множество Ра, где а — определенное число второго числового класса, представляет собой вполне определенную вещь, независимо от любых абстрактных соображений, относящихся к символам г. Кантора; следовательно, в том применении, которое мы намереваемся дать этому выражению, нет ничего иного, кроме применения обычного языка» [5, с. 36]. Другими словами, трансфинитные числа вводятся здесь, как и у Бореля, в качестве символа, обозначающего, однако, не порядки роста функций, а порядки производных множеств или порядки классов классификации.
Но в отличие от Бореля, первоначально сомневавшегося в целесообразности введения несчетных множеств, в частности в целесообразности применения метода трансфинитной индукции, а затем отказавшегося от несчетных процессов и даже ограничившего применение трансфинитных чисел, Бэр не мог позволить себе поступить подобным образом. Без трансфинитных чисел и основанных на них принципе стационарности Кантора—Бэра8 и трансфинитной индукции он не смог бы получить слишком многие из своих результатов, в частности теорему о функциях первого класса, поэтому они для него были важным вспомогательным орудием исследований.
Наиболее полно Бэр изложил свои взгляды на трансфинитные числа в «Лекциях о разрывных функциях» [10], прочитанных в 1904 г. в Коллеж де Франс. Свое отношение к ним он выразил в следующих словах. «В этих исследованиях мне пришлось ввести принадлежащее Кантору понятие трансфинитного числа. Это понятие, будучи новым в математике, уже подало повод к философским спорам; причиною этого, без сомнения, является то, что при известном способе его истолкования оно приобретает как бы несколько таинственный характер. Вспомним, что ведь нечто аналогичное произошло в свое время и с мнимыми числами. Я твердо верю, что в данном случае, как и в других подобных случаях, математик имеет полную возможность стать на твердую почву. Это я попытаюсь показать во второй главе, целиком посвященной этой теории. Принятое мною изложение в общем
8 Впервые примененном Бэром в 1898 г. [2, с. 886, 887]. О нем см. Натансон [1, с 439].
95
плане соответствует тому, которому следовал Канюр в своич работах, я изменил его лишь в том смысле, что сохранил исключительно пункты, нужные для тех приложений, которые я имел в виду; с другой стороны, я старался пояснить изложение приведением конкретных примеров» [10, с. 5]. Действительно, во второй главе этой книги даются различные конкретные примеры, подводящие к понятию трансфинитного числа (с. 29—33); сами трансфинитные числа вводятся как порядковые типы вполне упорядоченных множеств, доказывается принцип трансфинитной индукции (с. 54, 55) и принцип стационарности (с. 70, 71), а затем эти числа широко применяются.
Однако в одном существенном пункте Бэр отступает от подхода Кантора. Для последнего трансфинитные числа являются прямым обобщением порядковых натуральных чисел; для них вводится специальная арифметика, и символы ю+1, ю-2, ю'0 и т. п. появляются в результате определенных операций над числами, подобных операциям над конечными натуральными числами. Этот аспект канторовской теории Бэр целиком отбрасывает: «Отнюдь не отрицая, что теория представляет интерес, но руководствуясь тем соображением, что для нашей цели трансфинитные числа нужны исключительно с точки зрения их взаимного расположения, мы избрали несколько иной способ изложения, в котором мы все внимание сосредоточиваем исключительно на этих порядковых взаимоотношениях между трансфинитными числами» [10, с. 50]. И те же символы, которые означали у Кантора результат некоторых операций, у Бэра относятся лишь к взаимному расположению элементов вполне упорядоченных множеств, что, впрочем, имелось и у Кантора.
