Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Первое, что следует заметить по поводу их взглядов, это то, что все они хорошо знали определение функции как произвольного однозначного соответствия между элементами двух абстрактных множеств, сводящегося в случае действительных функций действительного переменного к однозначному соответствию между двумя множествами действительных чисел, прямо ссылались на него в своих работах и даже использовали при получении фактических результатов. Далее, все они считали (как задолго до них полагали многие другие), что такое определение является слишком общим, чтобы оно в этом виде могло служить объектом математических исследований. Подтвердим это утверждение несколькими выдержками.
Борель (1898 г.): «Это множество [функций действительного переменного.— Ф. M.] является логически определенным. Но я задаю вопрос: имеем ли мы о нем какое-либо представление? Действительно, можем ли мы представить самую общую функцию действительного переменного (даже предполагая, что ее единственными значениями являются 0 и 1)? Чтобы задать такую функцию, нужно задать ее значение для всех действительных значений переменного. Но так как это множество несчетно,
98
то невозможно указать метод, позволяющий иметь их все, т. е. получить любое из них в ограниченное время» [14, с. 108].
Бэр (1899 г.): «В этом определении [понятия функции — Ф. M.] не интересуются вопросом о том, чтобы найти, какими средствами может быть эффективно установлено это соответствие; даже не пытаются решить, можно ли вообще его установить. Понятие функции, расширенное таким образом, полностью содержится в понятии определения; эта точка зрения противоречит взгляду, состоящему в том, чтобы отправляться от некоторых простых функций и рассматривать выражения, образованные из этих простых функций, сохраняя слово „функция" за полученными таким путем выражениями» [5, с. 1].
Лебег (1905 г.): «Общее определение функции столь смутно, что его не только недостаточно, чтобы передать идею функции тому, кто не имеет ее, но оно не дает точного ответа на такой вопрос: как можно назвать функцию?» [45, с. 37]12.
Поэтому каждый из названных ученых считал необходимым указать то ограничение общего объема понятия функции (и не только функции), которое позволяло бы рассматривать это ограниченное понятие как законный объект математических исследований. В основном эти ограничения высказаны в приведенных словах: Борель признавал законными функции, определяющие соответствия которых задаются счетным множеством условий: Бэр относит к таковым функции, получаемые из некоторых -простых функций (например, непрерывных или многочленов) при помощи некоторых аналитических выражений; Лебег — функции, которые можно «назвать», т. е. для которых можно логически определить некоторое характеристическое свойство, индивидуализирующее рассматриваемую функцию. Каждое из этих ограничений не очень-то определенно, и названные авторы неоднократно возвращались к детализации своих взглядов, порой отступая от первоначальных установок, что особенно характерно для Бореля.
Уточнения Бореля шли в направлении, близком тому, которое затем получило название конструктивизма. Проиллюстрируем это несколькими примерами. В 1905 г. он, как говорилось (с. 57), занялся вопросом о существовании функций, принадлежащих различным классам классификации Бэра. Он замечает, что поскольку множество всех действительных функций имеет мощность, большую мощности континуум, а множество 5-функций, класс которых не превосходит заданное число (конечное или трансфинитное второго класса), всего мощности континуум, то определенно существуют функции, не входящие в бэровскую классификацию. А вслед за этим пишет: «Но это рассуждение, основанное на мощностях, имеет серьезный недостаток: нам вполне понятно, что существуют функции из F [множе-
12 К вопросу о лебеговском термине «назвать» мы еще возвратимся.
99
ства всех действительных функций.— Ф. AI.], не принадлежащие E [множеству ?-функций.— Ф. Af.], но мы не располагаем средством определить одну из них, т. е. выделить так, чтобы ее можно было отличить от других, другими словами, чтобы два различных лица, когда они говорят об этой функции, были уверены, что они говорят об одной и той же функции.
Предыдущее рассуждение не позволяет исключить гипотезу или теорему: всякая эффективно определимая функция необходимо принадлежит классу 0, 1, 2 или 3. Напротив, мы сейчас покажем, что можно эффективно определить функцию, класс которой превосходит заданное число [конечное.— Ф. Af.]» (Борель, [29, с. 156]). И далее Борель, пользуясь счетными процессами, доказывает существование функций во всех конечных классах Бэра.
Еще дальше он пошел в 1912 г. В работе «Вычисление определенных интегралов» [43] он, наряду с прочим, высказал и новые соображения по поводу понятия функции.
Руководящей его идеей явилось различение вычислений, «которые могут быть реально осуществлены и которые не являются таковыми» [48, с. 218]В содержание понятия «реальная осуществимость» он вкладывал следующий смысл: «Я намеренно оставляю в стороне большую или меньшую практическую длительность; суть здесь та, что каждая из этих операций осуществима в конечное время при помощи достоверного и недвусмысленного метода» (с. 219). После этого вводится понятие вычислимого числа: число а является вычислимым, если оно рационально; если а иррационально, то оно вычислимо только тогда, когда при любом натуральном п можно при помощи «реально осуществимых» вычислений получить рациональное число, отличающееся от а меньше, чем \/п (с. 218). И наконец, вводится понятие вычислимой функции: «Мы скажем, что функция является вычислимой, если ее значение вычислимо для каждого вычислимого значения переменного. Другими словами, если а — вычислимое число, то мы должны уметь вычислить f(a) с точностью до 1/п при любом п. Не следует забывать, что, по определению, задать вычислимое число а — это просто дать средство получить « с любым приближением. Следовательно, функция может быть вычислимой лишь тогда, когда она непрерывна, по крайней мере для вычислимых значений переменного» (с. 222, 223).
