Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
31 Его работы по этой теме составили три тома- «Наука и гипотеза» (1902 г.), «Ценность науки» (1905 г), «Наука и метод» (1908 г.); задуманный им четвертый том остался неоконченным и вышел после его смерти в виде небольшой книги «Последние мысли» (1913 г). Многие его соображения по философским вопросам математики описаны Бутру [3].
Общефилософские взгляды Пуанкаре вполне охарактеризованы Лениным 01, с. 39, 40, 142, 143, 158. 159, 222, 223, 257. 258, 261, 262]. Там же, особенно в главе «Новейшая революция в естествознании и философии», обрисована и общефилософская обстановка во Франции рассматриваемого периода
114
водилась с этой позиции, и хотя убежденного сторонника концепции актуальной бесконечности такая критика не могла поколебать, но и его она заставляла задуматься, четче формулировать свои представления. Пуанкаре выступал против трансфинитных чисел (например, [4, с. 135; 6, с. 73]), против аксиоматики Цермело [6, с. 65—71, 74, 75], теории типов Рассела [6, с. 60—65] и т. д. Но особенно много внимания он уделял критике непредикативных определений.
Он, конечно, не был первым критиком. Ранее его на отдельные непредикативные определения и рассуждения в математике указывали, например, Больцано, Кантор и Фреге; на Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 г. Гильберт [1, с. 325] общим образом указал на опасность порочных кругов при обосновании арифметики посредством логики, и Пуанкаре хорошо знал этот доклад Гильберта. Почти одновременно с Пуанкаре проблемой непредикативности занялся, хотя, вероятно, и не без воздействия последнего, но в некотором отношении более успешно, Рассел.
Первоначальный подступ Пуанкаре к этой проблеме был не очень удачным. Считая термин «petitio principii» общеизвестным, он решил в 1905 г. показать, что в определениях понятия числа, предлагавшихся тогда представителями математической логики, содержатся различные «petitio principii», или порочные круги. Его исходная позиция хорошо иллюстрируется следующими словами: «Определения числа весьма многочисленны и весьма различны; я отказываюсь перечислить даже имена их авторов. Не должно удивляться, что их много. Будь одно из них удовлетворительно, новых определений уже не давали бы. Если каждый философ, занимавшийся этим вопросом, считал своим долгом придумывать другое определение, то потому, что он не был удовлетворен определениями своих предшественников, а не удовлетворялся он ими потому, что усматривал в них какое-нибудь petitio principii.
Читая работы, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал крайне тягостное ощущение. Я постоянно был начеку, ожидая, не наткнусь ли я на petitio principii, и когда я его сразу не замечал, то я боялся, что проглядел.
Дело в том, чго невозможно дать определение, не употребив грамматического предложения, и трудно произнести предложение, не вставив в него название числа, или, по крайней мере, слово «несколько», или не употребив слова во множественном числе. А тогда становишься на скользкий путь и ежеминутно рискуешь впасть в petitio principii» [4, с. 9, 10].
С этой точки зрения он и попытался показать [4, с. 12, 13, 21, 28, 29, 40—45] наличие непредикативностей в работах Бу-рали-Форти, Рассела, Кутюра и Гильберта. Отвечая ему, Кутюра [2, с. 74, 76, 79, 80, 81, 95, 96, 99, 100] в основном успешно отразил нападки Пуанкаре по этому вопросу. Но возражения
115
Кутюра и ряда иностранных ученых (Бурали-Форти, Рассел, Пеано) отнюдь не снимали общий вопрос о непредикативных определениях, и некоторое время спустя Пуанкаре обратился к ним вновь.
Рассматривая парадоксы теории множеств, в частности парадокс Ришара32, Пуанкаре воспользовался попыткой Ришара объяснить свой парадокс для выработки общего представления о непредикативных определениях. Ришар, сформулировав свой парадокс, попытался решить его в том смысле, что счетное множество E конечно определимых чисел становится противоречивым, лишь если в него включаются числа, определяемые посредством самого множества Е; без включения таких чисел это множество он считал непротиворечивым.
Именно этот отказ от включения в рассматриваемое множество элементов, определение которых требует привлечения самого этого множества, Пуанкаре [4, с. 134, 135] и взял в качестве критерия непредикативности, правда, не формулируя его в общем виде, а лишь иллюстрируя на отдельных примерах (антиномий Бурали-Форти и Ришара (с. 129—131); определения Кантора первого трансфинитного кардинального числа1 (с. 134, 135); определения индуктивного числа у Уайтхэда (с. 137, 138); определения одного множества, рассмотренного Цермело при доказательстве теоремы эквивалентности Кантора — Бернштейиа (с. 145).
Пуанкаре, рассматривая непредикативное определение как определение, содержащее порочный круг (с. 135), считает, что оно «не определяет ничего» (с. 138), что непредикативное множество— это не пустое множество, а множество, границы которого неопределенны (с. 138). Окончательный итог своим соображениям, высказанным в этой статье, Пуанкаре подвел в следующих словах: «Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным определениям. Объяснюсь: в этих определениях фигурирует слово „все", как это видно из приведенных выше примеров. Слово „все" имеет вполне ясный смысл, когда дело идет о конечном числе предметов; для того, чтобы оно имело смысл, когда их бесконечное число, должна была бы существовать актуальная бесконечность. В противном случае нельзя представить себе все эти предметы данными раньше их определения, и тогда раз определение какого-нибудь понятия N зависит от всех предметов А, то оно может оказаться заключающим в себе порочный круг, если среди предметов А есть такие, которые нельзя определить, не прибегая к самому понятию N.
