Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
В следующей своей работе 1909 г. «Математика и логика» [7], посвященной описанию двух точек зрения на бесконечность, как на актуальную или потенциальную, Пуанкаре особенно отчетливо связывает проблему предикативных определений именно с этими точками Зрения. Называя канторланцами сторонников
34 Здесь и далее мы несколько модифицировали русский перевод работы Пуанкаре [6], сделав его ближе к французскому оригиналу и современному русскому языку.
118
актуальной бесконечности, а прагматиками — сторонников потенциальной бесконечности, Пуанкаре выразил эту зависимость так: «...но существует третий вид определений35, который является началом нового недоразумения между прагматистами и канторианцами. Это все еще определения через постулат, но постулатом здесь является некоторая зависимость между определяемым предметом и всеми индивидами рода, к которому, по предположению, принадлежит определяемый предмет (или же которые мы предполагаем принадлежащими к вещам, которые могут быть определены только через определяемый предмет). Это происходит, когда мы устанавливаем следующие два постулата:
X (определяемый предмет) как-то связан со всеми индивидами рода G,
X входит в состав рода G; или же три следующие постулата:
X как-то связан со всеми индивидами рода G,
Y как-то связан с X,
Y входит в состав G.
С точки зрения прагматистов подобное определение вовлекает в порочный круг. Нельзя определить X, не зная всех индивидов рода G и, следовательно, не зная X, которое является одним из этих индивидов. Канторианцы смотрят иначе; род G нам дан; следовательно, мы знаем все индивиды, и определение имеет иелью только выделить из этих индивидов тот, который находится со всеми своими товарищами в указанной зависимости. Нет, отвечают их противники, знание вида и рода не дает вам знания всех его индивидов, оно дает вам только возможность построить их все или лучше построить столько, сколько вы пожелаете. Они будут существовать не ранее, чем вы их построите, т. е. после того, как они будут определены; X существует только после определения, которое имеет смысл лишь после того, как мы наперед знаем все индивиды из G, и в частности X. Не имеет никакого значения, прибавляют они, утверждение, что определять X через его зависимость с G не будет порочным кругом и что эта зависимость в итоге не является постулатом, который может служить для определения X; необходимо предварительно доказать, что этот постулат не заключает в себе противоречия, но этого обыкновенно не делают в определениях такого рода» (с. 82).
Более того, в конечном счете проблема предикативности оказывается у Пуанкаре связанной с основным вопросом философии об отношении мышления к бытию (с. 84—86), причем сам он явно склоняется к субъективному идеал иаму.
Остановимся еще на одной работе Пуанкаре 1909 г. «Размышления о двух предыдущих заметках» [8], на части, относя-
зь К первому виду Пуанкаре относил определение через ближайший род и видовое отличие (с 80), ко второму — определения через постулаты при условии доказательства существования определяемого объекта (с 81).
119
щейся к непредикативным определениям. В общем подходе к рассматриваемому вопросу здесь у Пуанкаре нет ничего существенно нового. Однако эта работа интересна, по крайней мере в двух отношениях, если ограничиться проблемой непредикативности. Во-первых, в ней, по-видимому, впервые указано на непредикативность определения такого фундаментального понятия анализа и теории функций, как понятие грани множества; во-вторых, любопытен предложенный Пуанкаре обход этой непредикативности.
Пуанкаре берет (с. 199) традиционное доказательство существования корня алгебраического уравнения F=O, общая схема которого такова. Так как значения 1^l всегда неотрицательны, то множество E этих значений ограничено снизу, а значит, имеет нижнюю грань е. Поскольку же функция непрерывна, то она в некоторой точке принимает значение, равное этой грани. Доказывается, что сама эта нижняя грань не может быть отличной от нуля, а следовательно, существует такая точка, для которой \F\ =0, т. е. F = O имеет, по крайней мере, один корень.
Приведя эту схему рассуждений, Пуанкаре продолжает: «В этом доказательстве говорится: 1) о множестве E значений |F|, 2) об одном из этих значений е, меньшем всех остальных значений из Е, и 3) о соответствующем значении х. Определение е, в котором фигурирует множество Е, является непредикативным, поскольку понятие множества E должно предшествовать понятию е, определение которого зависит от Е, и одновременно должно следовать за понятием е, являющимся элементом множества Е. Мы не можем, следовательно, отвергать применение непредикативных определений, не отвергая доказательства, принимаемого всеми математиками» (с. 199).
Он не желает, однако, отбрасывать удобный ход рассуждений, а предлагает модифицировать его следующим образом3".
«Пусть X — независимое переменное, а у— значение х, действительная и мнимая части которого будут рациональными числами (для краткости я буду говорить, что у является рациональным значением х). Пусть E'—множество значений, которые может принимать \F(\j)\. Пусть е — нижний предел или минимум различных значений множества E'.
