Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Не существует актуальной бесконечности. Канторовцы забыли об этом и они впали в противоречия. Нет спора, что канторизм оказал науке реальные услуги, но это было тогда, когда его при-
32 Подробнее об этом в следующем параграфе. 116
меняли к истинной проблеме, так что можно было безбоязненно двигаться вперед.
Логисты забыли это, как и канторовцы, и они столкнулись с теми же трудностями» (с. 147).
Соображения Пуанкаре не убедили его идейных противников. Против него выступили Рассел, Пеано, Цермело и др. Поэтому он обращался к непредикативным определениям еще не раз. Наиболее полно свои взгляды на непредикативные определения он развил в статье «Логика бесконечности» [6J, почти целиком посвященной им.
Здесь он прежде всего выделяет два вида классификаций рассматриваемых объектов: остающиеся неизменными или изменяющиеся в ходе рассуждения (с. 54, 55). Различие между ними имеет место и для конечных совокупностей, но особенно существенным оно оказывается для бесконечных множеств. Понимая бесконечность только как потенциальную (с. 56), он вводит понятия предикативных и непредикативных классификаций. Первые суть те, которые не нарушаются при введении новых элементов классификации, а вторые — это те, которые «без конца изменяются под влиянием введения новых элементов» (с. 56). Это различие он иллюстрирует двумя примерами (с. 56, t>7).
При разбиении целых чисел на два класса в зависимости от того, больше или меньше некоторое число, чем число 10, налицо предикативная классификация, поскольку, во-первых, при рассмотрении любого конечного множества целых чисел однозначно решается вопрос, к какому из двух классов принадлежит каждое из чисел рассматриваемого множества, а, во-вторых, при введении новых целых чисел, не принадлежащих рассматриваемому множеству, каждое из них будет опять-таки однозначно входить в один из классов, причем, и это главное, не изменится отношение принадлежности к тому или иному классу чисел прежнего множества: числа, бывшие меньше 10, останутся меньше 10, а бывшие большими также останутся большими.
Напротив, если на два класса разбиваются точки континуума33 в зависимости от того, можно ли их определить конечным числом слов или нет, то налицо непредикативная классификация. Пуанкаре рассуждает так. «Среди всевозможных высказываний [определяющих точку континуума конечным числом слов.— Ф. M.] будут такие, которые будут содержать указание на все множество, т. е. континуум, или на части континуума. Когда мы введем новые точки в континуум, эти высказывания изменят смысл и не будут определять ту же точку или же вовсе потеряют смысл, а то еще приобретут смысл, какого они не имели ранее. В таком случае точки, не поддававшиеся определению, окажутся определенными, а другие, которые были определены ранее, пере-
3i В русском переводе термин «le continu» передан словом «пространство»; в соответствии с принятой теперь терминологией мы здесь и далее заменили его словом «континуум».
117
станут быть таковыми; они должны будут переместиться из одной категории в другую. Классификация будет непредикативной» (с. 57) 34.
Считая, далее, всякое определение некоторой классификацией, поскольку каждое определение отделяет объекты, удовлетворяющие определению, от объектов, которые ему не удовлетворяют (с. 58), Пуанкаре распространяет предикативность и непредикативность на определения. Любопытно при этом то, что вслед за этим сам Пуанкаре впадает в некую разновидность порочного круга. Вновь возвращаясь к первому примеру, он продолжает: «Я определил [конечным числом слов. — Ф. M.] некоторые числа а, ?, у, ... и распределил их между классами А и В. Я определяю и ввожу новые целые числа. Я сказал, что распределение не изменится, и, следовательно, классификация будет предикативной.
Но, чтобы положение числа а в классификации не изменялось, недостаточно неизменности порядка классификации; необходимо еще, чтобы число а осталось тем же, т. е. чтобы его определение было предикативным. Поэтому не следует говорить, что классификация является абсолютно предикативной, но что она является предикативной относительно некоторого способа определения» (с. 58).
Следовательно, хотя, по Пуанкаре, всякое определение является классификацией и предикативность или непредикативность определения является следствием предикативности или непредикативности классификации, последняя, в свою очередь, обладает или нет свойством предикативности в зависимости от способа определения.
С точки зрения таких представлений о предикативности Пуанкаре рассматривает далее некоторые определения и способы рассуждений в математике: определение кардинальных чисел через взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств, требуя предикативности закона соответствия (с. 58, 59); доказательства равномощности множеств целых чисел и четных целых чисел, а также неравномощности множества натуральных чисел и континуума (с. 59); расселовский способ избавления от непредикативности путем построения теории типов (с. 60—62) и его аксиому сводимости (с. 62—64); аксиоматику Цермело теории множеств (с. 65—71). Как и ранее, он полагает, что парадоксы логики являются результатом непредикативности некоторых понятий, используемых в их формулировке (с. 70).
