Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Помимо требования к определению быть формулируемым при помощи конечного числа слов, он добавил требование, чтобы определяемый объект характеризовался им «без возможной двусмысленности (sans ambigui'te possible). Последние слова означали для него, что «любые два математика, каждому из которых предложено это определение [некоторой десятичной дроби.— Ф. M.], построили бы одно и то же число, т. е. нашли бы одно и то же значение каждой десятичной цифры» [34, с. 444]. И рассматривая парадокс Рмшара, в котором по заданной счетной последовательности конечно определимых чисел
OCl, OC2.....ап,... (11
при помощи диагонального метода строится число ?, не входящее в эту последовательность, он отказывает в существовании этому числу ?, поскольку для его построения требуется предварительное знание чисел последовательности (1), множество которых бесконечно. Слова, описывающие число ?, не имеют вследствие этого однозначного смысла «ввиду сомнительности того, принадлежит ли ? последовательности чисел а или нет», а значит, «указанное противоречие не существует», так как ? не удовлетворяет выставленному Борелем второму требованию, предъявленному им к математическим определениям. В этом он и видит решение парадокса Ришара (с. 445).
Из такого подхода Бореля сразу же вытекает, что не всякое счетное множество удовлетворяет борелевским требованиям—таким, например, является ришаровское множество Е. Естественно, возникает вопрос: а, быть может, таковыми являются вообще все актуализированные счетные множества? Положительное решение
128
этого вопроса было бы для Бореля слишком радикальным, так как зачеркивало бы очень многое из его предшествующих работ, и он торопится дать отрицательный ответ на него [34, с. 445].
Первоначально он приводит пример множества действительных алгебраических чисел, т. е. корней алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, как счетного множества, удовлетворяющего обоим его требованиям48, а затем вводит разделение счетных множеств на эффективно перечислимые и не являющиеся таковыми. Поскольку такое разделение играло существенную роль в последующих работах Бореля, да и не только его, а также потому, что в смешении этих двух видов множеств он видел источник парадоксов, мы позволим себе привести длинную выписку из его статьи, характеризующую, кстати, и некоторые его общие взгляды.
«Можно заключить, что эффективное построение множества E чисел, которые можно определить при помощи конечного числа слов, не реализуемо. Это не должно препятствовать нам утверждать, что множество это счетно в классическом смысле слова, так как оно принадлежит счетному множеству комбинаций, которые можно построить при помощи конечного числа букв и знаков препинания.
Но множество E не является эффективно перечислимым, т. е. нельзя указать при помощи конечного числа слов достоверный метод, позволяющий без двусмысленности приписать определенный ранг каждому из его элементов. Действительно, для некоторых элементов возникают специфические трудности, большая часть которых, а возможно и все, может быть легко обойдена при помощи соглашений; но множество необходимых соглашений, чтобы быть полностью сформулированным, потребовало бы бесконечного числа слов, так как эти трудности появляются, очевидно, бесконечное число раз в бесконечном множестве различных форм. Таков ответ, который следует дать на парадокс г. Ришара и на все аналогичные парадоксы; нельзя эффективно обсуждать проблему, все члены которой не определены явно, так как в случаях, когда явное определение потребовало бы бесконечного числа слов, оно находилось бы за пределами области математики. Предыдущие соображения направлены не меньше, как на отрицание множеств, не являющихся счетными... Из предыдущего, как мне кажется, ясно вытекает, что множество точек прямой, которые могут быть эффективно определены индивидуально, является счетным множеством, но не эффективно перечислимым.
48 Рассуждения Бореля [34, с. 445], которыми он стремится показать это, представляются нам не очень убедительными: называя число я+|а0| + + |ai|+...+ |an| рангом уравнения a0xn+aixn_1-f...an-ix+a„=0, Борель считает очевидным существование алгебраического числа заданного ранга и из бесконечного множества уравнений, которым удовлетворяет рассматриваемое алгебраическое число, выбирает уравнение наинизшего ранга; ни то, ни другое ои ие рассматривает со своей точки зрения.
129
Нельзя указать способа зафиксировать па прямой одну вполне определенную точку, не принадлежащую этому множеству. Предположение, что существуют такие точки, является истинным или ложным в зависимости от того, примем мы или нет возможность счетного множества произвольных последовательных выборов; но это — метафизический вопрос в том смысле, что положительный или отрицательный ответ на него не будет иметь никогда никакого влияния на развитие пауки: все точки, которые когда-либо потребуются в рассуждениях, будут определены конечным числом слов, они образуют практический континуум и их используют математики.
