Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Медведев Ф.А. -> "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв" -> 63

Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.

Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв — Новосибирск: «НАУКА», 1976. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): franchuzkaya-shkolf-teorii-funkciy.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 116 >> Следующая


Различие между счетными и несчетными множествами мне кажется не имеющим практического значения, так как все множества, которые можно будет когда-либо рассматривать, являются счетными в классическом смысле этого термина, поскольку они являются правильными частями счетных множеств; но не все они эффективно перечислимы; для некоторых из них приписывание определенного ранга каждому из этих элементов потребовало бы бесконечного множества выборов, а следовательно, не могло бы быть эффективно реализованным при помощи ограниченного числа слов. Следовательно, с практической точки зрения нужно различать два класса множеств: эффективно перечислимые множества и не являющиеся таковыми. Правильная часть эффективно перечислимого множества не обязательно эффективно перечислима; рассмотренное выше множество E дает пример этого. Именно в этом состоит существенное различие между понятием эффективно перечислимого множества и классическим понятием счетного множества. Новое понятие мне кажется имеющим большое преимущество быть менее метафизичным, т. е. опирающимся на наблюдаемые реальности.

Все так называемые парадоксы теории множеств проистекают из того, что считается очевидным следующее предложение; всякое счетное множество является эффективно перечислимым. Однако из предыдущего ясно вытекает, что это предложение является неверным» [34, с. 446—448].

На этом мы заканчиваем изложение взглядов французских математиков на парадоксы теории множеств. И хотя Адамар оказался не совсем прав, когда в 1908 г. писал [10], что эра открытой полемики о теории множеств и ее парадоксах близка к завершению (эта полемика продолжается и поныне), тем не менее он был прав в том смысле, что сама эта полемика после реконструкции теории множеств Цермело, Расселом, Брауэром и многими другими приняла во многом иной вид. Конечно, по поводу парадоксов теории множеств продолжали высказывать свои соображения и французские математики, особенно Борель49, по эти их соображения были, кажется, менее действенными, чем в рассмотренный нами период.

4* Ограничимся указанием его книги [52].

130

§ 7. О связи общих установок с конкретными математическими результатами

Мы не предполагаем говорить здесь о влиянии общефилософских идей на математическое творчество французских ученых. Вопрос о мировоззрениях Адамара, Пуанкаре, Бореля, Лебега и т. д. достаточно самостоятелен, чтобы касаться его мимоходом. Заметим лишь, что в широком философском плане он не представляется нам особенно интересным, поскольку, как нам кажется, к названным французским ученым в полной мере применима знаменитая характеристика Энгельса: «Естествоиспытатели воображают, что они освобождаются от философии, когда игнорируют или бранят ее. Но так как они без мышления не могут двинуться ни па шаг, для мышления же необходимы логические категории, а эти категории они некритически заимствуют либо из обыденного общего сознания так называемых образованных людей, над которым господствуют остатки давно умерших философских систем, либо из крох прослушанных в обязательном порядке университетских курсов по философии (которые представляют собою не только отрывочные взгляды, но и мешанину из воззрений людей, принадлежащих к самым различным и по большей части к самым скверным школам), либо из некритического и несистематического чтения всякого рода философских произведений,— то в итоге они оказываются в подчинении у философии, но, к сожалению, по большей части самой скверной, и те, кто больше всех ругает философию, являются рабами как раз наихудших вульгаризованных остатков наихудших философских учений [1, с. 166, 167].

Вместе с тем в 'более специальных вопросах соображения названных математиков интересны и ценны, что мы и попытались показать в предшествующих параграфах настоящей главы. Здесь же мы намерены только проиллюстрировать на отдельных примерах воздействия описанных общематематических взглядов на конкретную деятельность в области математики.

Ряд подобных примеров был уже приведен. Мы упоминали (с. 114), что Пуанкаре, первоначально встретивший канторов-скую теорию множеств доброжелательно и даже плодотворно применивший ее, под воздействием в значительной мере факта обнаружения в ней парадоксов перешел на позицию отрицания теории множеств и математической логики. Видимо, об этом можно лишь пожалеть, хотя 'переход его па эту позицию был в некотором смысле естественным: высшим критерием существования математической теории являлось для него ее непротиворечивость; раз в теории встретились противоречия, то он отказал ей в праве на существование. В период борьбы Пуанкаре с теорией множеств закладывался фундамент функционального анализа, и он больше, чем многие другие, мог бы способствовать созданию этой величественной математической дисциплины, требовавшей в то время безусловного признания теории мно-

131

жеств чуть ли не во всем ее тогдашнем объеме; отказ от теории множеств преградил ему путь к функциональному анализу. Напротив, позиция Адамара, несомненно, способствовала тому, что он стал одним из основоположников функционального анализа, а о том, что его отправным пунктом служила именно теория множеств, достаточно красноречиво свидетельствует его док лад «О некоторых возможных приложениях теории множеств» [2] на Первом конгрессе математиков в 1897 г. Та же позиция, воспринятая его учеником Фреше, помогла последнему занять соответствующее место в создании функционального анализа, рассматривавшегося им как прямое обобщение теории функций действительного переменного именно в той теоретико-множественной форме, которую ей придали французские ученые.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed