Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Описанная полемика об аксиоме произвольного выбора является лишь небольшим отрывком более широкой и более интересной картины столкновения мнений по поводу этого и других кардинальных вопросов математики. Этот отрывок мы дополним еще лишь кратким описанием очень интересного мемуара Лебега «Вклад в изучение соответствий г. Цермело» [28], опубликованного в 1907 г.
24 Мы несколько модифицировали русский перевод работы, на которую мы ссылаемся.
по
Основной результат этой-работы Лебег сформулировал так: «Не существует никакой функции y(xt, jc2, xs, ...) счетною числа переменных X1, хъ X,, ..., которая была бы представима аналитически -или даже просто измерима и которая всякому счетному множеству X1, Jc2, Jf3, ... ставила бы в соответствие выделенное число у этого множества, зависящее от множества jc„ jc2, jc„ ..., но не зависящее от порядка, в котором расположены точки, образующие это множество» [28, с. 209]."
Для 1907 г., да и в значительной мере сейчас, это утверждение является чрезвычайно общим: речь идет о весьма сложном функционале в пространстве последовательностей действительных чисел. Поэтому изложению содержания работы Лебега предпошлем краткую справку по истории функционального анализа.
В 80-х годах прошлого столетия начались исследования Воль-терры и Пинкерле по функциональному анализу; к ним вскоре присоединилось много других математиков — Арцела, Леви-Чи-вита, Бурле, Адамар, Фреше, Гильберт и др. К 1907 г. в этой новой области математики были получены многие фундаментальные результаты, из которых назовем только следующие: были введены понятия линейного и метрического пространств, пространства сходящихся с квадратом последовательностей действительных чисел и некоторые другие виды функциональных пространств; изучены многие свойства функционалов и операторов в таких пространствах, в частности была получена общая форма линейного функционала в пространстве непрерывных функций; в работах Гильберта функционал стал явно рассматриваться как функция бесконечного числа переменных и т. д.
Трудно сказать, в какой мере Лебег был знаком с работами названных авторов. В сноске [28, с. 204] он лишь коротко упомянул имена Вольтерры, Адамара, Пинкерле и Бурле; исследования Гильберта тогда были ему, кажется, незнакомы. Характер его научных интересов, особенно стиль мышления, были далеки от соответствующих характерстик основных создателей функционального анализа того времени — Вольтерры, Пинкерле и Фреше. Ближе всего в этом отношении к Лебегу стоял молодой тогда Фреше, но его-то Лебег как раз и не упоминает. Можно предположить, что о повой математической науке Лебег знал только понаслышке по тем причинам, чго, во-первых, за период 1904— 1907 гг. он опубликовал свыше двух десятков работ, в том числе две книги и такие фундаментальные статьи, как [18, 21], и к тому же был загружен преподавательской работой, так что для чтения чужих работ, да еще казавшихся ему ие относящимися к тематике собственных исследований, времени попросту не оставалось; во-вторых, работы тех же Вольтерры, Пинкерле и Гильберта могли представляться ему слишком частными в том смысле, что они не выходили в общем-то за пределы области непрерывных функций, а основные интересы Лебега были сосредоточены в области разрывных функций. Поэтому тем более интересно,
111
что такая абстрактная вещь, как общая аксиома Цермело, в некотором смысле заставила Лебега сделать глубокий прорыв в новую область знания, причем, вероятно, независимо.
Ход мыслей Лебега был таким. Не принимая аксиомы Цермело в ее абстрактной формулировке, он задался целью показать, что даже если множества семейства, из которых выбирается элемент, являются множествами действительных чисел, то наличные аналитические методы не позволяют построить функцию множества, ставящую в соответствие каждому множеству семейства элемент этого множества 2\
«Назвать такое соответствие — это значит всякому множеству чисел E поставить в соответствие одно из чисел этого множества или же функции /, равной нулю в точках множества E и равной 1 в остальных точках, поставить в соответствие один из корней этой функции. Если у является этим корнем, то у выступает в виде функции, определенной для переменного, зависящего от формы и значения функции f на интервале. Функциональные операции, ставящие в соответствие числа формам функций, еще совсем не изучены, за исключением той функциональной операции, которую называют определенным интегрированием; будет, следовательно, преждевременным пытаться искать, за каким классом функциональных операций целесообразно зарезервировать наименование аналитических операций. Однако, если мы условимся говорить, что функциональная операция определяется аналитическим процессом, если она всякой функции f(x, X), выразимой аналитически, ставит в соответствие число у (к), выразимое аналитически, то мы, конечно, имеем определение достаточно широкое, чтобы было очень трудно найти операцию, которая не удовлетворяет этому определению» [28, с. 204].
Из этих слов видно, что Лебег знаком с общим понятием функционала. Далее, ему, очевидно, был известен результат Адамара о представлении линейного функционала в пространстве непрерывных функций в виде предела определенного интеграла (теорема Рисса еще не появлялась). Лебег считает недостаточным рассмотрение только линейных функционалов, и в сноске на той же странице он приводит примеры таких функционалов, как верхняя грань, полная вариация и внешняя мера значений функции па интервале, не являющихся линейными. Кроме того, для пего слишком ограничительно рассмотрение лишь функционалов от непрерывных функций. Он желает рассматривать функционалы, заданные на семействе ?-функций26, зависящем от действительного параметра Я, да к тому же не непрерывные, а тоже ?-измеримые27. Функционалы такой общности, насколько нам
