Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Медведев Ф.А. -> "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв" -> 61

Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.

Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв — Новосибирск: «НАУКА», 1976. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): franchuzkaya-shkolf-teorii-funkciy.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 116 >> Следующая


В 1909 г. с критикой рассуждений Ришара в [2] при установлении им парадокса множества всех конечно определимых чисел выступил Шёнфлис. Он не согласился с тем, что при помощи конечного числа слов можно определять только счетные множества, а полагал, что при помощи одного и того же определения можно выделить бесконечное множество, даже мощности континуум, математических объектов, и в качестве примера привел слова «построим функцию f(x) на интервале О^я^І так, что эта функция для каждого значения х имеет одно и то же значение». По его мнению, эти слова образуют вполне определенное предписание и определяют множество функций f (х) =с мощности континуум, если придавать с всевозможные действительные значения 4Т.

Эти соображения Шёнфлиса вызвали возражения Пуанкаре [8, 9]. Для него слово «определение» характеризует то, что «оно позволяет отличить определяемый объект от всех других объектов; если оно применяется к бесконечному множеству объектов, то оно не дает возможности отличить их друг от друга; оно не определяет ни одного из них; оно уже не является определением» Г8, с. 195]. В том же примере Шёнфлиса недостаточно положить f(x)=c, чтобы функцию считать определенной. Нужно еще определить саму константу с, и если только последняя определена

46 Пуанкаре имеет здесь в виду четыре издания книги Пеано «Formitlario та-tematica», пятое издание вышло в 1905—1906 гг.

47 На Других соображениях Шёнфлиса мы не останавливаемся.

126

при помощи конечного числа слов, то становится определенной и функция. Пуанкаре считает, что «множество, каждый элемент которого не может быть определен конечным числом слов, есть чистое ничто (est pur neant); о нем нечего сказать, нечего помыслить» [8, с. 196]. Рассуждения Ришара он считает правильными и делает вывод, что множеств, отличных от счетных, не существует.

Вместе с тем Пуанкаре согласен и со способом рассуждений, содержащимся в диагональном методе Кантора. Но при помощи последнего доказывается, что континуум несчетен, поэтому перед Пуанкаре возникает проблема истолкования утверждения о несчетности континуума. Его он понимает в том смысле, что какова бы ни была формула, задаваемая конечным числом слов, всегда при помощи конечного же числа слов можно определить действительное число, которое этой формулой не ставится в соответствие никакому целому числу (с. 196). Последующие слова Пуанкаре любопытны: «Как это согласуется с доказательством г. Ришара, показывающим нам, что всякое множество, элементы которого определяются конечным числом слов, является счетным? Рассмотрим формулу F, определяющую некоторое отношение между различными целыми числами и различными действительными числами (которые тем самым оказываются определенными конечным числом слов); множество E этих действительных чисел будет счетным. Мы можем затем определить другие действительные числа, не принадлежащие Е; эти определения содержат конечное число слов, но среди этих слов будет фигурировать имя множества Е. Пусть E'— множество этих новых действительных чисел. Доказательство Кантора учит нас, что множество E' не пусто, а доказательство Ришара учит, что множество Е+Е' счетно. Следовательно, нельзя найти формулу F', определяющую отношение между различными целыми числами и различными числами множества Е+Е'.

Но тогда можно будет вновь найти другие числа, не принадлежащие Е+Е', которым можно дать определение, содержащее лишь конечное число слов, среди которых содержатся имена множеств E и E'. Здесь множество Е" этих чисел также не будет пустым, но будет счетным и т. д.» (с. 197).

В том факте, что каждое из этих множеств счетно, но что они появляются все вновь и вновь, в силу рассуждения Кантора, Пуанкаре видит сущность парадокса Ришара и соглашается с его решением, предложенным последним.

Интерес приведенных слов заключается в том, что Пуанкаре, ранее отрицавший, как мы говорили, понятие актуального бесконечного множества, рассуждает здесь так, как будто множества Е, E', Е" и т. д. существуют именно как бесконечные актуальные множества. И если еще утверждение об их счетности можно в какой-то мере истолковать как просто наличие взаимно-однозначного соответствия между двумя потенциально становящими-

127

ся последовательностями, то говорить о сумме двух таких последовательностей, которые в общем случае не обязательно являются числовыми, затруднительно, с его точки зрения, по крайней мере до тех пор, пока не будет построена какая-то новая арифметика, даже намека на которую у Пуанкаре нет.

Более того, признавая диагональ Кантора, он еще определеннее становится, если можно так выразиться, актуалистом, ибо если множество E бесконечно, то строить элемент, не принадлежащий Е, можно лишь тогда, когда это E мыслится в каком-то смысле завершенным, так как без такой завершенности нельзя решить, принадлежит ли рассматриваемый элемент множеству E или нет. Так что Пуанкаре, критикуя Шёнфлиса за актуализацию бесконечности, сам фактически опирался на такую актуализацию.

Борель был более последовательным в этом отношении, хотя тоже далеко не всегда. Отрицая несчетные множества, он сначала сомневался в правильности диагонального метода, а затем, по сути дела, отказался от применений его. К парадоксам теории множеств, в частности к парадоксу Ришара, он в 1908 г. [34] подошел следующим образом.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed