Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, если мы можем назвать наложение, то мы можем назвать функцию F; если мы знаем только, что существует наложение, то должны лишь заключить, что существует функция F»[2l, с. 207].
Следовательно, в категорию «называемых» функций Лебег зачисляет функции, существование которых доказывается при помощи диагонали Кантора, но при условии, что график наложения можно «назвать». Приведенное выше его определение термина «назвать» достаточно неопределенно, и сам он конкретизировал его в рассматриваемой работе лишь тем, что для «на-
17 Этот способ рассуждений известен как метод диагонали и очень часто применяется в приданном ему Лебегом виде.
104
зывания» функций, не входящих в классификацию Бэра, привлек совокупность всех трансфинитных чисел второго числового класса, т. е. множество мощности континуум (с. 213—215). И закончив доказательство утверждения, что построенная им функция аналитически непредставима, он написал: «Итак, можно назвать функцию, непредставимую аналитически, и то исследование, которое мы только что предприняли, не следует смешивать с изучением функций, которые можно называть, т. е. с исследованием, к которому было бы интересно приступить» (с. 215).
Смысл последних слов заключается, по-видимому, в том, что «называть» можно не только при помощи диагонального метода Кантора, да еще в сопровождении совокупности трансфинитов второго класса, но и в других случаях. Призыв Лебега к общему изучению «называемых» функций и множеств долго оставался безответным у математиков. Лишь в 30-х годах попытки в этом направлении были предприняты П. С. Новиковым и Н. Н. Лузиным, но, кажется, успеха не имели
§ 4. Полемика по поводу аксиомы Цермело
Аксиома Цермело является одним из наиболее активно обсуждавшихся на протяжении почти всего нашего столетия предложений теории множеств. Имеются сотни работ, включая целые книги, посвященные специально этому предложению, и тысячи работ, в которых оно применяется или вообще затрагивается в той или иной мере. И это не случайно. После установления Гё-делем в 1938 г. непротиворечивости, а в 1963 г. Коэном независимости этой аксиомы в наиболее распространенной аксиоматике теории множеств стало ясным, что вопрос о принятии или непринятии ее связан с ломкой традиционных представлений, быть может, более глубокой, чем та, которая была вызвана анализом аксиомы параллельности в геометрии.
Поэтому, даже с большим основанием, чем в отношении понятия функции, мы отказываемся здесь от сколько-нибудь полного описания борьбы вокруг названной аксиомы, опять-таки ограничиваясь в основном характеристикой отдельных соображений некоторых французских ученых в начале XX в.
Пуанкаре {4, с. 140] справедливо писал, что эту аксиому, не формулируя ее, применяли тысячи раз, но, как только она была сформулирована, она вызвала ряд сомнений. Непосредственным поводом, вызвавшим ее активное обсуждение во Франции, явились два следующих факта.
В 1904 г. на Международном конгрессе математиков в Гей-дельберге венгерский математик Кёниг выступил с докладом, в котором утверждал, что континуум не может быть представлен в форме вполне упорядоченного множества,в. В том же году
,я См Лузин [4, с 598—616]
19 Этот доклад он опубликовал в 1905 г.
105
Цермело опубликовал свою знаменитую работу «Доказательство предложения, что каждое множество можно сделать вполне упорядоченным» [1], в которой, основываясь на аксиоме выбора, доказывал, что вполне упорядочить можно любое множество. В его формулировке эта аксиома выглядит так: «Для бесконечной совокупности множеств всегда существует отображение (Zuordnung) , в котором каждому множеству соответствует один из его элементов» [1, с. 516].
Естественно, что сопоставление этих двух противоречащих друг другу предложений о полном упорядочении не могло не вызвать недоумения. По-видимому, впервые в печати это недоумение было выражено в отчете о гейдельбергском конгрессе, помещенном в «Revue generale des sciences pure et appliques» 15 ноября 1904 г. В том же «Revue...» 30 марта 1905 г. появилась более развернутая заметка Адамара [З]20, в которой аксиома Цермело была подвергнута сомнению, сущность которого состояла в указании на неочевидность того, что операцию выбора элемента из каждого множества бесконечного семейства можно подчинить некоторому закону.
Любопытно, что автор указанной заметки отмечает (с. 241), что «многие из математиков думали найти пробел в самой отправной точке доказательства [теоремы о вполне упорядочении всякого множества.— Ф. Af.], к которой, впрочем, привлек внимание сам автор [т. е. Цермело.— Ф. Al.]»21. Ни один из этих «многих математиков» здесь не называется, но почти несомненно, что к их числу принадлежал и Борель, так как вскоре была опубликована его статья «Несколько замечаний о принципах теории множеств» [31], в которой он резко выступил против аксиомы Цермело. Редакция журнала «Mathematische Annalen», помещая на его страницах статью Цермело [1], видимо, все же сомневалась в убедительности рассуждений последнего и, кажется, обратилась к ряду специалистов по теории множеств с просьбой высказаться по этому поводу22. Ответом на эту просьбу и явилась заметка Бореля [31].
