Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лебег занимал в отношении трансфинитных чисел в основном ту же позицию, что и Бэр. Как и последний, он не прибегал к арифметическому аспекту их теории, а пользовался только их порядковым смыслом. К канторо-бэровским рассуждениям, основанным на принципе стационарности и методе трансфинитной индукции, он добавил так называемый метод цепей интервалов *, которым начал пользоваться в первом издании своих «Лекций по интегрированию и отысканию примитивных функций» [13, с. 63, 79, 121, 122, 126] и применял в ряде последующих работ, например [23, с. 5, 6; 25, с. 96, 97; 26, с. 286—288], для доказательства некоторых фундаментальных теорем своей теории интеграла. Вместе с тем в тех случаях, когда применения его можно было избегнуть, Лебег стремился сделать это. Так он поступил, например, при доказательстве теоремы о функциях первого класса [14] и теоремы Кантора—Бендиксона в «Лекциях по интегрированию и отысканию примитивных функций», подчеркивая, однако, различие результатов, получаемых при помощи трансфинитных чисел и без них. Лебег различает теорему Кан-
9 О нем см Лебег [40, с 273—279].
96
тора—Бендиксона (всякое замкнутое множество есть сумма конечного или счетного множества и совершенного множества) и проблему Кантора—Бендиксона (заданное множество разложить на. сумму совершенного и не более чем счетного множества), теорему Бэра (всякая функция первого класса точечно разрывна на каждом совершенном множестве и обратно) и проблему Бэра (для заданной функции первого класса найти последовательность непрерывных функций, сходящуюся к ней всюду) 10. В доказательствах первых применения трансфинитных чисел можно избежать относительно просто; что же касается вторых, то в проблеме Кантора—Бендиксона исключение трансфинитов возможно лишь в предположении эффективной осуществимости операции, позволяющей определить точки конденсации заданного множества11, а «оперативный процесс, предложенный Бэром для разрешения проблемы Бэра, есть трансфинитный процесс; оправдать его без трансфинитов невозможно» (Лебег, [42, с. 280]).
Наиболее полно свои взгляды на трансфинитные числа Лебег изложил в 1928 г. в прибавлении 1 «О трансфинитных числах» ко второму изданию названных выше лекций [40, с. 256—282], где, в частности, проанализировал рассуждения при помощи трансфинитной индукции и цепей интервалов, подчеркнув при этом несводимость этих рассуждении к конечной цепи силлогизмов. Вряд ли нужно излагать их здесь. Заметим лишь, что основные идеи названного дополнения были сформулированы Лебегом значительно ранее — в рукописи 1905 г., опубликованной только в 1971 г. [45, с. 33—37].
§ 3. Понятие функции у тех же математиков .
О чисто математическом аспекте понятия функции у интересующих нас французских авторов мы, по существу, вели речь в большей части настоящей работы. Они, как мы говорили, осуществили глубокий прорыв в область неаналитических функций (Борель) и даже разрывных (Бэр и Лебег), создав концепции ?-измеримых и измеримых по Лебегу функций, доказали ряд важных теорем о них, «выковали» многие орудия исследований этих математических объектов (методы суммирования расходящихся рядов, интегралы Лебега, Данжуа и Фреше, производная почти всюду и т. д.). Но понятие функции, являясь одним из самых основных понятий математики и математического естествознания, имеет и более общий аспект; оно связано с глубокими общефилософскими проблемами естественно-научного закона,
См. Лебег [40, с. 279, 280]; в отношении теоремы Кантора — Бендиксона он указал на это различие еще в 1903 г. [11, с. 1230, сноска], а в отношении теоремы Бэра — в 1905 г. [21, с. 183].
Напомним, что точкой конденсации множества E называется точка, в любой окрестности которой содержится несчетное множество точек из Е.
97
причинности, взаимоотношения математики и естествознания; вследствие этого данное понятие давно — но крайней мере, с XVIII столетия — было объектом страстных споров. Естественно, что в период бурного обогащения этого понятия непосредственно в математике еще более проявились и расхождения представителей разных взглядов. Расхождения проявились не только при описании общих установок в специальных работах нолуфилософского характера, но и в чисто математических трудах, посвященных решению отдельных относительно частных проблем.
Общие взгляды французских ученых на природу понятия функции уже описывались не раз. Укажем, к примеру, обстоятельную статью Лузина «Функция» [5, с. 331—341] и статью Мон-ны И], где, в частности, приведены многочисленные цитаты из трудов Бореля, Бэра и Лебега, относящиеся к представлениям их о функции и, особенно, к способам ее задания. Мы будем опираться и на них.
Разумеется, вследствие фундаментальности понятия функции следовало бы рассмотреть и взгляды других ученых на это понятие. Более того, последнее связано, как мы говорили, с целым комплексом других очень общих вопросов, без рассмотрения которых нередко становятся непонятными и взгляды на природу функции. Но тогда настоящий параграф перерос бы в описание совсем иной темы — истории понятия функции на рубеже веков — цель, которую мы не ставим перед собой. Поэтому, даже с риском оказаться неправыми в некоторых отношениях, мы ограничимся описанием только отдельных соображений о концепции функции у Бореля, Бэра и Лебега.
