Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Быть может, не меньшее сожаление вызывает отрицательное отношение Пуанкаре к теории множеств в связи с созданием теоретико-множественной топологии. Он считается основоположником топологии вообще50; но, располагая, казалось бы, всеми необходимыми данными, он не связал ее с теорией множеств. Отчасти это сделал, как мы говорили, Бэр, но и ему, видимо, в какой-то мере мешала его позиция, и сделанное им скорее следует рассматривать как созданное вопреки его общим взглядам.
Но даже если оставить в стороне столь общие предположительные ситуации, многие более конкретные примеры тоже интересны.
Мы говорили о позиции Бореля в отношении трансфинитных чисел (с. 90—94) и привели там его высказывание об отказе изучать функции, порядок роста которых выражается большими трансфинитными числами; этот отказ был в значительной мере вызван его недоверием к трансфинитным числам вообще. Не стал Борель рассматривать и вопрос о существовании функций в классах Бэра с трансфинитными индексами, поскольку не мог «эффективно определить» такие функции; напротив, Лебег доказал существование функций для всех классов Бэра, ибо для него бесконечность мощности континуум была почти столь же законна, как и счетная. Общая направленность на отрицание трансфинитных чисел руководила Борелем и при доказательстве частного случая теоремы Бэра (см. с. 93,94). Установка Бэра на то, что законными функциями анализа являются только функции, получаемые из некоторых простых функций при помощи хотя и достаточно общего, но все же, как оказалось впоследствии, ограниченного запаса аналитических операций, наверно, ответственна за то, что в своих математических исследованиях он не выходил за пределы класса 5-функций, хотя в это время и были введены более общие классы. Интересна эволюция подходов Бореля к понятию меры в связи с изменением его взглядов на понятие бесконечности. Первоначально Борель [14, с. 48] поступал так:
1) всякому интервалу приписывалась мера, равная его длине;
См. Александров [1].
132
2) если каким-либо образом меры двух множеств E1 и E2 определены и EiCE2, то мера E2—?, равна разности мер множеств Ег и E1;
3) если меры счетной последовательности попарно непересекающихся множеств Еи E2, ...,?„,... определены, то мера этих множеств равна сумме их мер.
Тем самым, отправляясь от интервалов, можно получить все ?-множества: к ним принадлежат всевозможные интервалы, а также множества, не являющиеся интервалами, но получаемые из них при помощи операций 2) и 3). Тогда Борель еще не задавался вопросом о том, что означают слова «всякий интервал» и «все ?-множества». Однако после того, как в результате работ Бэра и Лебега выяснилось, что для изучения ?-множеств недостаточно только счетных процессов, и особенно после того, как сам Борель пришел к мысли о необходимости ограничения общего понятия счетного множества, он посчитал нужным изменить свой подход к понятию меры. В 1912 г. он [43] поступил так51.
Отправляется он уже не от произвольных интервалов, я от интервалов, абсциссы концов которых являются вычислимыми числами в смысле, указанном ранее (с. 100), и меру по правилу 1) приписывает только таким интервалам. Если некоторое множество состоит из конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов с вычислимыми концами, то этому множеству приписывается мера, равная сумме мер составляющих его интервалов. Если два множества, меры которых определены, таковы, что все точки второго множества принадлежат первому множеству, то разность этих двух множеств имеет мерой разность их мер. Кроме ограничения на вычислимость концов интервалов, пока все обстоит, как и ранее. Но затем Борель ограничивает в некотором смысле и сам класс множеств, получаемых таким способом.
«Назовем открытым телом множеств бесконечное множество множеств А, обладающее следующими свойствами:
1. Всякое множество из А получается из других множеств этого А при помощи основных операций (сложения счетного множества множеств из А без общих точек; разности двух множеств из А, одно из которых содержит другое); таким образом, можно шаг за шагом свести каждое множество из Л к тому, что оно определяется через элементарные множества (интервалы);
2. Каково бы ни было положительное число е, всякое множество из А можно рассматривать как образованное из основной части (конечного числа интервалов) с точностью до положительных или отрицательных множеств, которые можно заключить в интервалы с общей длиной, не превосходящей е.
3. Каждому множеству из А можно поставить в соответствие число, называемое его мерой, и это число получается из мер
Далее мы цитируем по варианту этой работы, напечатанному в 1914 г. [48].
133
интервалов при помощи тех же конструктивных операций, которыми это множество получается из интервалов» (стр. 235).
Это тело множеств Борель называет открытым потому, что присоединение к нему разностей двух множеств, содержащихся в нем, или счетной суммы попарно непересекающихся множеств тела вновь приводит к телу множеств, обладающему теми же свойствами. Поскольку он теперь не признает существования всех трансфинитных чисел второго числового класса, то для него все такие тела не могут рассматриваться как завершенные, как замкнутые: «Понятие такого замкнутого тела, хотя оно непротиворечиво само по себе, мне не кажется настоящим математическим понятием, поскольку построение такого тела нельзя описать конечным числом слов. С другой стороны, мы не будем никогда иметь потребности обращаться в приложениях к чему-либо, кроме открытых тел, которые мы определили. Для математиков, допускающих существование всех трансфинитных чисел второго класса, те же соображения позволяют путем некоторого трансфинитного процесса получить замкнутое тело, обладающее теми же свойствами, что и открытое» (с. 236, сноска).
