Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичную эволюцию Борель совершил и в отношении частного понятия своей теории меры — понятия множества меры нуль; к этому мы возвратимся несколько далее в другой связи.
Приведенные факты односторонни в том отношении, что в общем-то они характеризуют отрицательное воздействие общих установок на развитие математики. Но было воздействие и положительное. Прежде всего, сам факт острой полемики, критики обиходных представлений и рассуждений в огромной степени ответствен за тот необъятный цикл исследований по основаниям математики, который берет свое начало во многом из описанных выше столкновений мнений французских ученых и продолжается до наших дней. Эти исследования имели не только методологический характер. Они привели ко многим как общим математическим результатам— построению различных аксиоматических систем теории множеств, бурному развитию математической логики; разработке разнообразных конструктивных направлений в математике и т. п., — так и к многочисленным более или менее конкретным фактам.
Из последних мы уже отмечали (с. 57) построение Бэром арифметического примера функции третьего класса, идею Бореля об исключении трансфинитных чисел из математических рассуждений (с. 94) и т. д. Число подобных примеров можно было бы увеличить, но вряд ли в этом есть необходимость.
В общем же можно высказать лишь ту общеизвестную истину, что методологические установки ученых, несомненно, влияют не только на общие направления их исследований, но и на получение ими конкретных научных результатов и.
Впрочем, это не для всех очевидно; см, например, книгу Винтера [1].
134
Вместе с тем нельзя и переоценивать влияния общих установок на получение конкретных математических результатов. Логика развития самой математики часто оказывалась сильнее предубеждений, связанных с общеметодологическими взглядами, и математики нередко действуют вопреки своим принципам, по большей части, кстати, и не формулируемым явно. В заключение настоящего параграфа мы проиллюстрируем это несколькими примерами.
Видимо, наиболее показательным в этом отношении является пример Бэра, Если стать на ту точку зрения, которую он высказал в письме 1905 г. [12], то нужно или перечеркнуть все сделанное им в математике, или, по крайней мере, переделать заново с самого начала. Действительно, он, по его словам, пытается быть более радикальным, чем Борель, и не согласен считать законным даже понятие счетного множества, рассматриваемого как актуально бесконечное; для него все должно сводиться к конечному. Но свою теорему о функциях первого класса он доказывал, опираясь на совокупность всех трансфинитов второго числового класса, рассматривая ее именно как завершенную совокупность, как несчетное множество; введенное им множество ?-функций он представлял себе как актуальное множество мощности континуум и даже привлекал множество всех действительных функций, имеющее еще большую мощность, чтобы охарактеризовать место ?-функций в системе всех функций.
Возможное возражение, что указанные взгляды он высказал в 1905 г., а приведенные результаты (количество которых можно увеличить) получил ранее, снимается тем, что в том же 1905 г. [10], а еще более в 1909 г. [17] он повторил почти все свои формулировки и методы рассуждений, притом в [17] в более общей ситуации. Можно даже сказать, что элементы актуализации в смысле Кантора в более поздних работах Бэра усилились. Последнее видно хотя бы на примере отмечавшегося ранее (с. 95, 96) изменения подхода к трансфинитным числам: если ранее они были для него просто символами последовательных производных заданного множества (рассматриваемых, кстати, именно как актуально бесконечные и в общем случае несчетные), то теперь они стали для него порядковыми типами вполне упорядоченных множеств.
Актуально бесконечные множества различных мощностей, трансфинитные числа, трансфинитная индукция и другие элементы теории множеств настолько существенны в математическом творчестве Бэра, что отказ от них потребовал бы, по меньшей мере, создания нового математического языка, попыток для построения которого Бэр даже не делал, если судить по его опубликованным работам.
Более последовательным в этом смысле был Борель. Эволюция его взглядов проходила, как мы видели, в направлении постепенного ограничения объема актуализируемых множеств:
135
сначала для него были допустимыми,не только произвольные счетные, но и несчетные множества; затем он начал заявлять о законности только счетных множеств и счетных процессов; наконец, он пришел к понятию перечислимого множества. Во втором десятилетии XX в. он подготовил ряд работ, в которых попытался осуществить программу перестройки ряда теоретико-функциональных результатов в соответствии со своими последними взглядами, например в теории меры и интегрирования. В общем можно, по-видимому, сказать, что его усилия оказались напрасными, а полученные им результаты были малоинтересны, по крайней мере для последующего потока изысканий по теории функций. Но не это интересует нас. Мы хотим проиллюстрировать здесь лишь то соображение, что даже при конкретном осуществлении своей программы Борель, вопреки своим общим установкам, был вынужден прибегать к противоречащим им соображениям. В качестве примера мы рассмотрим его работу 1913 г. «О множествах меры нуль» [46].
