Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Медведев Ф.А. -> "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв" -> 67

Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.

Медведев Ф. А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв — Новосибирск: «НАУКА», 1976. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): franchuzkaya-shkolf-teorii-funkciy.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 116 >> Следующая


Таким образом, даже в работе, специально посвященной перестройке частных математических теорий в соответствии с общими принципами, мы сталкиваемся с пренебрежением этими принципами, когда они вступают в противоречие с реальным математическим содержанием.

§ 8. Несколько заключительных замечаний

Читатель, конечно, обратил внимание на то, что, излагая взгляды французских математиков начала века на отдельные принципиальные вопросы математики, мы слишком много приводили длинных цитат из их трудов и очень мало уделяли внимания историческим оценкам их соображений. Это не случайный недосмотр автора, так как, по нашему мнению, время подобных оценок еще не настало.

Дело в том, что все рассмотренные в настоящей главе вопросы— проблема трансфинитных чисел и связанных с ними способов математических рассуждений, общее определение понятия функции, аксиома Цермело, парадоксы теории множеств и математической логики, роль общих взглядов в конкретных математических исследованиях и т. п.— еще далеки от сколько-нибудь определенного решения Здесь не место для оправдания этого утверждения, и мы лишь бегло проиллюстрируем его одним примером.

55 В значительной мере это видно, например, из книги Френкеля и Бар-Хил-лела [1].

138

Из всех названных вопросов наиболее продвинутое решение имеет, по-видимому, вопрос об аксиоме Цермело. После фундаментальных результатов Гёделя (совместимость этой аксиомы с другими аксиомами теории множеств, 1938 г.) и Коэна (независимость ее в аксиоматике Цермело — Френкеля, 1963 г.), развитых затем в работах других авторов, дело, казалось бы, стало ясным: подобно аксиоме параллельности в геометрии, аксиома Цермело не может быть ни опровергнута, ни доказана, и возникает проблема построения нецермеловских теорий множеств, в некоторых отношениях подобных неевклидовым геометриям; эту проблему так порой и формулируют.

Однако это, вероятно, было бы слишком простым решением. Аксиома выбора связана с более фундаментальными положениями математики, нежели аксиома параллельности: исследования по неевклидовым геометриям оставляли незатронутым ряд натуральных чисел, и построенный с его помощью геометрический континуум — тот фундамент, на котором зиждется почти все здание математики. Создание же нецермеловских теорий множеств, по меньшей мере, сильно поколебало бы этот фундамент; последствия такого потрясения совершенно непредвидимы и определенно затронули бы далеко не только математику.

Конечно, то радикальное решение, которое неоднократно предлагалось и предлагается отдельными учеными и которое состоит в отказе от самой теории множеств вообще, полностью снимало бы проблему аксиомы произвольного выбора, а потому не подлежит обсуждению в данном месте. Но даже если не принимать столь радикального решения, все же следует заметить, что результаты Гёделя и Коэна неполны в некотором отношении: и тот и другой результаты относятся к теории множеств, описываемой аксиоматикой Цермело — Френкеля. Однако, помимо аксиоматической системы Цермело — Френкеля, имеется еще несколько десятков аксиоматик теории множеств, взаимоотношения между которыми еще далеко не изучены. На некоторые из них, но не на все, результаты Гёделя и Коэна распространены; как с ними будет обстоять дело в еще не изученных аксиоматиках, пока не ясно.

Но ситуация еще сложнее. Любая из имеющихся аксиоматизированных теорий множеств не охватывает собой всего здания теории множеств, построенного на протяжении XIX—XX вв. и все достраиваемого до сегодняшних дней независимо от какой-либо аксиоматики. В приложениях к другим математическим дисциплинам применяются главным образом результаты и методы именно неаксиоматизированной теории множеств. Вопрос о создании аксиоматики, в рамках которой это здание получило бы закопченный вид (укрепились бы все необходимые компоненты и отброшены лишние детали), весьма проблематичен56, особен-

56 Целесообразно привести здесь следующие слова Мостовского: «Нам требу

139

но если учесть возможность поставить под сомнение сами принципы аксиоматического метода. Но даже если такая аксиоматика когда-либо и будет создана, то вопрос о месте и роли аксиомы выбора — или какого-либо подобного ей утверждения — в ней неизбежно возникнет в той или иной форме. Так что фундаментальные результаты Гёделя, Коэна, Вопёнки и других в некотором смысле не решают вопроса.

Проблема же, например, парадоксов теории множеств еще менее ясна. Именно поэтому мы ограничились описательным изложением, быть может, даже излишне кратким.

Обратим внимание еще на одну, более техническую, сторону рассмотренной выше полемики. Как писал в 1909 г. Пуанкаре, эта полемика «затянулась не потому, что без конца приводились новые аргументы, но потому, что все время вертелись в одном и том же круге; каждый повторял то, что он уже говорил, как будто не слыша, что ему говорил противник» [7, с. 76]. В ней не оправдалась старая поговорка, что истина рождается в споре. Здесь, скорее, дело обстояло так, что каждый ждал очередной возможности высказаться, выдвинуть новые аргументы в пользу своей точки зрения. И поэтому в настоящей главе было относительно мало таких слов, как «доказал», «установил», «обнаружил», «показал», «опроверг», а, напротив, преобладали слова «он считал», «по его мнению», «с его точки зрения», «он отверг» и т. д.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed