Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Даже когда речь шла о конкретном рассуждении, его заключительный результат нередко выступал не как следствие этого рассуждения, а фактически оказывался преобразованной этим рассуждением исходной позицией. Очень ярким в этом отношении примером является рассмотренный выше (с. 92) факт доказательства Борелем несчетности порядков роста непрерывных функций и доказательства Эвелленом и Z. счетности того же множества. С чисто технической точки зрения их рассуждения чуть ли не тождественны, решающим доводом в первом случае было признание актуальной бесконечности, а во втором — признание только потенциальной бесконечности. Другим подобным примером являются рассуждения Лебега в его «Вкладе в изучение соответствий г. Цермело» [28]. Он не согласен с рассуждениями Цермело. Но вместо того, чтобы показать, где тот ошибается, Лебег устанавливает, что допущение аксиомы произвольного выбора приводит к неизмеримым множествам, функциям, функционалам; последние для него неприемлемы, а значит неприемлема сама аксиома, а тем самым и основанное на ней рассуждение Цермело.
Аналогично обстояло дело не только с рассуждениями, опирающимися на трансфинитные числа или аксиому произволь-
ются новые аксиомы, чтобы привести в систему (to codify) интуитивную іеорию множеств. Тревожным фактом является то, что мы не знаем, где искать их» [1, с. 114].
140
пого выбора, по и с таким .классическим рассуждением, как доказательство при помощи метода полной математической индукции. Спор об этом методе был начат, кажется, статьей Пуанкаре 1894 г. «О природе математического рассуждения» [2]57, продолжался очень долго, и в нем приняло участие большое число математиков и философов, в частности сам Пуанкаре много раз обращался к рассмотрению роли принципа индукции в математике. Здесь не место для описания этой полемики, и мы упомянули о ней лишь с целью еще раз проиллюстрировать общую ситуацию, когда, казалось бы, сугубо математические факты поднимались до уровня принципиальных установок, когда в полемике применялись не доводы математического порядка, а некоторая общая убежденность, когда, наконец, даже манера выражаться перестала быть математической. Так, например, Адамар [7, с. 161], описывая спор между Пуанкаре и Кутюра по поводу метода полной математической индукции, приходит к выводу, что вопрос о нем связан с общим понятием числа, полагает «весьма вероятным», что само понятие полной математической индукции неопределимо, делает экскурс в психологию, а затем выставляет требование дать определение слова «определение» [9, с. 907].
Аналогично обстояло дело и с выражениями «конечное определение» или «определение при помощи конечного числа слов», столь часто употреблявшимися в рассматриваемый период — и не только французскими авторами. Это видно, например, из критики Адамара [8] рассуждений Кёнига.
Далее, все рассмотренные в настоящей главе вопросы обсуждались в это время не только во Франции, что мы уже не раз отмечали. И сама постановка их, и методы их решения были зачастую тесно связаны с соответствующими подходами ученых других стран. Так, например, проблемы неиредикативных определений и парадоксов теории множеств и математической логики в то же время активно исследовались Расселом. Мы лишь в малой степени учитывали это, так как не ставили перед собой цели воссоздания полной исторической картины. Это, естественно, накладывало соответствующий отпечаток на самый ход изложения и, видимо, привело ко многим довольно субъективным выборам приведенных выше высказываний.
17 Русский перевод ее названия мы изменили по сравнению с имеющимся; французское название таково: «Sur la nature du raisonnement mathema-tique».
Глава четвертая
ИСТОРИЧЕСКОЕ МЕСТО ФРАНЦУЗСКОЙ ШКОЛЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ
§ 1. Введение
Воздействие рассмотренных трудов французских ученых на дальнейшее развитие теории функций было огромным. Действительно, понятия измеримой функции, интегралов Лебега, Данжуа и Фреше, производной почти всюду, суммируемого в разных смыслах ряда, сходимости почти всюду, функции множества, ^-функций и ?-множеств и т. д. были и остаются основными объектами изучения в теории функций. Многие разработанные ими методы, вроде того же метода категорий, верно служат до сегодняшних дней. Более того, даже там, где, на первый взгляд, исследования по теории функций вышли за рамки, намеченные французскими математиками, часто несложно обнаружить их корни в трудах последних.
Приведем несколько примеров.
В представлении интеграла как предела некоторых сумм наибольший отход от традиционных взглядов, видимо, был совершен Бёркилем (1924 г.) и Колмогоровым (1930 г.), а затем и другими: вместо интегрирования функций точки началось изучение интегрирования функций множества. Но последнее понятие в его четкой форме восходит, как мы видели, к Лебегу.
Вышедшая в 1930 г. книга Лузина «Лекции об аналитических множествах и их применениях» почти полностью основана на идеях Бореля, Бэра и Лебега, и большая часть ее объема представляет собой их дальнейшее развитие. Фамилии названных французов фигурируют там постоянно, выступая как символы понятий, идей, методов, соображений.
