Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
> Универсальная процедура для превращения центральных проекций гиперплоскостей в биекции состоит, таким образом, в присоединении к каждой аффинной гиперплоскости Ж пространства & множества направлений ее прямых1); для каждой пары (Ж,Ж') аффинных гиперплоскостей в Ж и любой точки О в &\(Ж\]Ж') биекция /, определенная правилами а)—d), называется проекцией или перспективой с центром О расширенной гиперплоскости Ж UЖ*> на Ж'\]Ж'оо. Эти условия применимы и тогда, когда Ж и Ж параллельны (при этом возможны лишь случаи а) и d).
В действительности биекция строится с помощью множества прямых, проходящих через О. Для даль-
!) Удобно называть ZeU^00 расширенной гиперплоскостью.— Прим. перев.
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 123
і^ейшего важно выяснить роль этого посредника. Сформулируем
Предложение 1.1. Для любой аффинной гиперплоскости Ж пространства & и любой точки 0^.&\Ж существует естественная биекция \н расширенной гиперплоскости Ж\]Ж<х> на множество аффинных прямых, проходящих через О: каждой точке МєІ соответствует прямая (ОМ) и любому элементу бе g <Жх> соответствует прямая, проходящая через О, с направлением б.
Если Ж, Ж'— две аффинные гиперплоскости в не проходящие через О, то проекция Ж\]Жоо из центра О на Ж' U^l есть биекция f = j~} о j^.
Предложение 1.1 привлекает наше внимание к изучению множества аффинных прямых, проходящих через фиксированную точку Og<S\ снабжая S векторной структурой путем выбора точки О за начало, мы приходим к изучению векторных прямых векторного пространства Е. Это изучение и составит предмет проективной геометрии, к которой мы теперь приступаем.
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Обозначим через E левое1) векторное пространство над произвольным телом К, не сводящееся к {0}. После всего сказанного мы могли бы ввести соответствующее проективное пространство как множество всех векторных прямых Е. Но легко заметить, что векторные прямые E с исключенным началом образуют разбиение множества E* = Е\{0} 2) на классы эквивалентности по очевидному отношению эквивалентности на ?*: две точки X9 у g принадлежат одной и той же векторной прямой тогда и только тогда,
1) Аналогично определяется проективное пространство и в случае правого векторного пространства (см. § 5).
2) Всюду, где E обозначает векторное пространство, обозначает множество ?\{0} (обозначение Е* сохраняется для сопряженного пространства к E). Для тела мы сохраняем обозначение К* = /С\{0}.
j24 гл. iv. элементы проективной геометрии
когда существует скаляр X (непременно отличный от нуля!), такой, что у = Xx. Так мы приходим к следующему алгебраическому определению:
> Определение 2.1. Проективное пространство P(L) левого векторного пространства E над К есть фактор-пространство множества ненулевых векторов L* = = L\{0} по отношению эквивалентности 52, задаваемому условием
уЖх (ЗХ є= К*) у = Xx. (1)
Обозначим через р: L*->P(L) каноническую проекцию; класс р(х) (х<=Е*) можно обозначать <х>.
Отметим также, что в случае dim L = 1 пространство P (E) сводится к одной точке.
В случае произвольной конечной размерности п пространству P(E) приписывается размерность п— 1; это условие получает в дальнейшем оправдание (§ 4); в частности, если E имеет размерность 2 (соотв. 3), то мы называем P (E) проективной прямой (соотв. проективной плоскостью).
Проективные подпространства
^ Определение 2.2. Подмножество LdP (E) называется проективным подпространством в P(E)9 если /H(L)U(O} есть векторное подпространство в Е.
В частности, всякая точка MeP (E) является нульмерным проективным подпространством в P(L) (так как p~l (M) U(O} есть векторная прямая в E). Аналогично, пустое подмножество в P(L) можно рассматривать как его проективное подпространство размерности — 1. Не считая этого случая, простейшими подпространствами являются проективные прямые (когда р-1 (L) U(O} имеет размерность 2) и проективные гиперплоскости (когда р-1 (L) U(O} есть векторная гиперплоскость в L).
Проективные прямые будут изучены в § 6. Теперь же заметим, что через две различные точки P(L) проходит единственная проективная прямая (потому что две различные векторные прямые L порождают векторную плоскость). Немедленно получаем
2. ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 125
Предложение 2.1. Если V — векторное подпространство в E9 то р (1/*) является проективным подпространством в P(E)', мы говорим, что оно индуцировано V.
В самом деле, V есть объединение векторных прямых, и потому V*=V\{0} состоит из классов эквивалентности по отношению (1) и р-х (pV*) = К*.
Следствие. Всякое проективное подпространство L в P (E) допускает каноническую проективную структуру, получаемую ограничением на p~l (L) отношения эквивалентности (1).
Проективное подпространство в P(E)9 индуцированное векторным подпространством V пространства E9 можно отождествить с проективным пространством P(V) и обозначать просто P(V) вместо p(V*).
В частности, если V двумерно, то проективные прямые в P(E) имеют структуру проективного пространства размерности 1, что оправдывает нашу терминологию.
