Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
f + g: xh-*f (x) + g(x) и A,/: x*->Xf(x).
(Проверяется непосредственно.)
В силу доказанного искомое векторное пространство F будет ВПП в &Е, порожденным отображениями /л. Поэтому мы начнем с изучения этого пространства F.
> Предложение 6.1. Пусть F--векторное подпространство в &Е, порожденное функциями fA: & -*Е,
Мь—*>МА; пусть, далее, /: &->Еу M н-> j) XiMA1-
элемент из F1). Тогда
a) Сумма j) Xt зависит только от функции / и
притом линейно, т. е. является линейным отображением F в К, которое мы обозначим |ы.
b) Если |ы(/) =7^=0, то существует единственная точка Gg^, такая, что / =
c) Если \i(f) = 0, то / постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение а) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек (Ah Я/)^є/, такие,
что /= j) Л>іЇа-'> н0 оно легко вытекает из того факта,
f с= Г 1
1J Заметим, что элементы F называются «функциями Лейбница» и часто применяются в теории барицентров; однако если Л' не коммутативно, то эти функции лишь полуаффинны.
6. каноническое погружение пространства Ю7
что для любой пары (M9 P) е &2 выполнено соотношение
/(P)-Z(Af)=^Z7К) рм> (D
которое доказывает существование и линейность функции fy-*\i(f).
b) Если Z Ф 0» выберем в & произвольную
і є /
точку Р. Соотношение (1) показывает, что в & существует единственная точка G9 такая, что /(G) = O; она
определяется условием ki^PG = f(P). Из (1)
также видно, что эта точка — единственная, для которой (VM є Ж) / (M) = ^ A,^ MG. Таким образом,
барицентр семейства (A19 Xt)iGl зависит только от функции /.
c) Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). ?
Следствие. F является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида XfА ((X9 А) <=
Предложение 6.2. Пусть / — отображение S-^F9 А\—>/л, и пусть /0 — отображение E в F9 которое любому вектору и^Е ставит в соответствие постоянную функцию, равную и на &.
Тогда / аффинно с линейной частью /0 и потому инъективно; при этом ](<?) есть аффинная гиперплоскость F\ в F с уравнением \x(f) = 1.
Доказательство. Для любой пары (A9 B)^S2 разность J(B)-J(A) есть постоянная функция fB — fA:
M н-> MB — MA = АВ\ положим j (В) — j (А) = /0 (AB). Таким образом, / аффинно, L(J) = J0 и / инъективно, как и /0.
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции /л суть элементы f ^ F9 удовлетворяющие условию \i(f) =1. ?
108 гл. III. структура аффинного пространства над телом
^ Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству S, ассоциированному с векторным /(-пространством ?, можно канонически присоединить:
• векторное пространство F, изоморфное E X К,
• ненулевую линейную форму |ы на F,
т аффинную инъекцию /: S-+F, такую, что J(S)— аффинная гиперплоскость в F\ a F с уравнением \i{x) = 1.
Доказательство. Остается только установить изоморфизм между FuEXK. Для этого достаточно заметить, что, какова бы ни была точка А є Sy отображение EXK-^F, (ut Я)»—»/о(и) + Ma линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки А. ?
Заметим, что аффинная гиперплоскость Fi имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость F0 = Кег (|ы) = Jo(E) постоянных функций, которая отождествляется с Е.
Замечания. 1) Векторную структуру на множестве (К*XS) можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству SE, но это связано с утомительными выкладками.
2) Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение /, единственным образом определяемое заданием S.
> Обозначения. Векторное пространство F, построенное таким образом, называется векторным продолжением S и обозначается S.
Если S имеет размерность /г, то размерность S равна п + 1. Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ
Векторная интерпретация барицентров
Вернемся к обозначениям § 6. Инъекция / позволяет нам отождествить S с аффинной гиперплоскостью Fi — {4-'(I) в F1 в то время как ее линейная часть /0
7. приложения теоремы o погружении
109
позволяет отождествить E с векторной гиперплоскостью F0 = Ker(p,).
Предложение 7.1. Пусть (Ai9 Хь)( s/ ¦— конечное семейство взвешенных тЪчек &', где точки At отождествлены с элементами F1. Для того чтобы элемент Z X1Ai из F принадлежал F1 (соотв. F0), необходимо
и достаточно, чтобы Z = 1 ("соотв. 2 ^ = OV
і є= / V г є / У
Доказательство. Это вытекает из соотношения Ii (Z M*) = ZX ?
> Правило. Отождествление & с подмножеством в F = S позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации Z^Hi эле" ментов S. Но такая комбинация представляет элемент из S только тогда, когда X) = 1 (этот элемент будет барицентром системы (Ль Хь))\ если же Z^i~0, то
Z ^iA1 представляет элемент из E9 равный Z XiAAt для любой точки A^lS.
Приложения. 1) Для того чтобы три точки А, ?, С из S были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры X, P-, v, такие, что
