Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Выбор начала AbS сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства Sa по его векторному подпространству V9 и оказывается, что достаточно применить теорему II. 4.3, приняв точку р(А) за начало в S/V. D
Отметим, что SfV является пространством орбит действия группы трансляций (V9+) на S9 это есть множество ЛАМ с направлением V (см. § 2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение f представляется в виде / = gL?p, где g: S/V-+S' — инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что / полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность g вытекают из того, что соотношение f(A) = f(B) равносильно ABgV (см. лемму 5), и тем самым р(А) = = р(В). Для доказательства полуаффинности g покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть 3) — произвольная аффинная прямая в SfV, порожденная двумя различными элементами а, ? из SfV. Без труда проверяется, что р~1(Ф) есть ЛАМ в S, порожденное р—1 (ct) U р~1 (?).
По лемме 3, g(@) = f(p~l (?>)) есть ЛАМ, порожденное / (p""1 (a)) U / (P""1 (?)) = {g (а), g (?)}; итак (в силу инъективности g), g(@>) является аффинной прямой S\
120 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Наконец, 8/V не может сводиться к одной точке или прямой, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и g(8/V) = f(8), что противоречит условию ii). Поэтому dim ((Г/К) ^> 2.
Отсюда следует, что g удовлетворяет условиям і) и ii), наложенным на /, при условии замены 8 на 8/V. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении g двух параллельных прямых 2)и ®2 из 8/V — две параллельные прямые. Наконец, g удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены 8 на 8/V). Следовательно, g полуаффинно и так же обстоит дело с /. ?
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. ?
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела К и К' совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда K=R или K = Zp при рф2): в этом случае мы по-лучаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга ^2 пространства 8 в 8'.
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия ii): ведь любое отображение 8 на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию і).
Так же и в случае K = K' = Z/2Z условие і) выполнено для любого отображения 8 в 8' (поскольку каждая прямая в 8 и 8' состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинеарны», даже при условии, что f биективно.
Например, f: R2n-+Cn, (хи хП9 уи Уп)^
(хх + іуи • • • > хп + ЇУп) есть биекция векторного пространства R2n над R в векторное пространство [С/1 над ,С., и образ каждой прямой из R2n при отображении f содержится в некоторой прямой пространства Сл, но f не является полулинейным (поскольку R и С не изоморфны).
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Избыток аффинной геометрии в последние годы привел к забвению задач, при всей их естественности, которые связаны с центральным проектированием и теорией перспективы. Настала пора к ним вернуться, ибо с практической точки зрения проектирование имеет ключевое значение для хорошего пространственного представления. В теоретическом же плане они представляют естественное введение в проективную геометрию, которая лучше, чем аффинная, приспособлена к изучению некоторых видов задач (о коллинеарности и пересечениях, об алгебраических кривых).
Для начала мы изучим вкратце следующую задачу:
Задача о центральных проекциях!)
Пусть & — произвольное аффинное пространство, О — некоторая его точка и Ж, Ж— две гиперплоскости в 8, не проходящие через О. Мы намерены изучить соответствие между Ж и Ж\ устанавливаемое условием: «точка M в Ж и точка M' в Ж коллинеар-ны с О».
Если Ж и Ж' параллельны, то это соответствие определяет аффинную или полуаффинную биекцию Ж на Ж (ограничение на Ж некоторой гомотетии с центром О).
Если же Ж и Ж' не параллельны, то это соответствие не определяет отображения Ж на Ж'\ точка Mg^ не имеет образа в Ж в случае, когда прямая (ОМ) параллельна Ж'\ точно так же и точка M' в Ж имеет прообраз в Ж лишь в случае, когда прямая (OM') не параллельна Ж.
l) В трехмерном случае эта задача возникает при рассмотрении плоского рисунка.
122 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
> Для того чтобы сделать это соответствие биективным, достаточно присоединить к Ж и Ж множества Ж», <Ж», состоящие соответственно из направлений принадлежащих им прямых, и определить отображение /: Ж\]Жоо-^Ж \}Жоо по следующим правилам:
a) если Мє^ и прямая (ОМ) не параллельна Ж у то /(M) есть точка пересечения прямой (ОМ) с Ж.
b) если M є Ж и прямая (ОМ) параллельна Ж', то /(M) есть направление прямой (ОМ) (элемент Ж'оо).
c) если б є Ж» и б Ж», то / (б) есть точка пересечения Ж с прямой, проходящей через О с направ^ лением б.
d) если бє=ЖоП<^~, то / (б) = б.
Эти условия проясняются, если рассмотреть соответствие, устанавливаемое проектированием с центром О между прямыми плоскостей Ж и Ж\ если Ю — прямая в ^ с направлением б и плоскость (О, S)) не параллельна Ж', то ей соответствует прямая Ф' — пересечение плоскостей (O9 2)) и Ж\ тогда So' имеет направление б или проходит через точку /(б) в зависимости от того, параллельна ли S) плоскости Ж.
