Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 35

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 97 >> Следующая


> Следствие. Если S9 S' — аффинные плоскости и fi S-+•S'—инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в S есть прямая в S\ то / — полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если /—инъективное отображение S в себя, такое, что образ любой прямой D есть прямая, параллельная D\ тогда можно непосредственно доказать^ что / — дилатация (см. упр. III. 8).

9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характериза-цию линейных аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

^ Теорема 9.1. Пусть S9 S' — аффинные пространства над телами K1 К\ отличными от поля Z/2Z; для того чтобы отображение /: S-^S' было полуаффинным, достаточно, чтобы

i) Образ любой прямой в & был прямой в S\ либо сводился к одной точке.

ii) Аффинное подпространство в S', порожденное f(S)9 имело размерность ^2.

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что J удовлетворяет условиям І) И ІІ).

9. основная теорема аффинной геометрии \\7

Лемма 1. Если F есть ЛАМ в S9 то f(T) — ЛАМ в 8'.

Доказательство. Пусть A' = f(A) и B' = f(B) — две различные точки в f(T). Тогда прямая (A'В') есть по условию і) образ прямой (AB); так как прямая (AB) содержится в T9 прямая (А'В') содержится в f(T). Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. ?

Лемма 2. Если Y' — ЛАМ в S' и множество T = = 1~{(У) непусто, то оно является ЛАМ в <%.

Доказательство. Результат очевиден, если T сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек A9 B^T прямая (f(A)f(B)) содержится в У согласно і). Таким образом, прямая (AB) содержится в T и теорема 4.8 показывает, что T есть ЛАМ. ?

Лемма 3. Для любой непустой части X пространства 8

Aff (f (X))^f (Aff (X)). (1)

Доказательство. Aff (X) есть ЛАМ в &, содержащее X] по лемме 1, /(Aff(X)) есть ЛАМ в S', содержащее f(X). Отсюда следует включение Aff(f(X))cz CZf(AU(X)).

Аналогично, по лемме 2, f~* (Aff (f (X)) есть ЛАМ в S9 содержащее fl (f(X))9 а потому и X; имеет место включение Aff (X) cz f~l (Aff (f (X))); применение отображения f дает

f (Aff (X)) cz Aff (f (X)).

Окончательно получаем равенство (1). ?

Лемма 4. Пусть D1, D2- пара параллельных прямых в 8. Если f(D\) сводится к точке, то же имеет место и для /(D2). Если /(D1)-— прямая, то и /(D2) — прямая, параллельная /(Di).

Доказательство. Мы можем предположить, что D1 Ф D2. Тогда T = Aff (D1 U D2) есть ЛАМ размерности 2 в I, порожденное двумя точками Л, В одной из прямых и точкой С другой прямой; по леммам 2

118 гл. iii. структура аффинного пространства над телом

и 3, f (T) = AU (f (A)9 f(B)9 f(C)) есть ЛАМ размерности ^2.

a) Покажем сначала, что / (D1) = f (D2) либо/(D1)D Of(D2)= 0.

Допустим, что /(D1) и /(D2) действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки A1 є D1 и A2^D2, такие, что f (Ax) = f (A2). Выбирая B1 є D1 \ {A1} и B2^D2 \ {A2} и полагая по-прежнему AH(D1 U D2), получим с помощью леммы 3, что

f (T) = AU {f (Ai), f(A2), /(B1)) = Aff (/(Л,), /(0,)) = /(01) и аналогично

/ (У) = Aff (/ (A1), / (A2), / (?2))=Aff (/ (A2), / (?2))=/(D2),

откуда / (D1) = / (D2).

Поскольку сформулированное утверждение при / (D1) = / (D2) очевидно, будем далее полагать f(Dx)Ф =т^=/(D2), т. е. считать, что /(D1) и /(D2) не имеют общих точек.

b) Предположим, что /(D1) — прямая в S' и /(D1)H DZ(D2)= 0; тогда /(F) имеет размерность 2.

Если бы на прямой D2 существовали две точки B9 C9 такие, что f(B) = / (С), то для любой точки А є Di мы имели бы F = Aff (А, 5, С) и f(T) = Aii (f (A)9 f(B))9 и тогда /(F) не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что /(D2)—прямая.

Значит, /(D1) и /(D2) — две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т. е. параллельные.

c) Если /(D1) сводится к одной точке, то, меняя ролями D1 и D2 и применяя результат Ь), мы видим, что /(D2) также сводится к точке. ?

Лемма 5. Если (P9 Q) — пара точек в $\ таких, что множества /-"1 (P)9 f~l (Q) непусты, то f~l (P) и Z"1 (Q) — ЛАМ с общим направлением.

Доказательство. По лемме 2, f1 (P) и f~l (Q) суть ЛАМ в 8. Предполагая, что P?=Q, фиксируем точку А

в T = fl(P) и точку В в W = f~x(Q)\ параллельный —>

перенос на вектор AB обозначим через т. Для любой

9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ \ J 9

точки MgT прямая (Вх(М)) = (х(А)х(М)) параллельна прямой (AM), и поскольку образ прямой (AM)) сводится к одной точке P9 то образ прямой (Bx(M)) сводится к точке Q = f (В). Таким образом, MgT влечет x (M) сі Ж и имеет место включение x (T) CZ Ж.

Меняя ролями T и Ж, получим включение x"1 (Ж) с: T9 откуда х(Т) = Ж. Итак, T, Ж имеют общее направление. ?

Лемма 6. Обозначим через V общее направление непустых ЛАМ в S вида f~l(P), где P g S'9 и пусть SfV— факторпространство S по отношению эквивалентности 9I9 определенному условиемASIB-^ABgV.

Тогда S/V имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция р: S -+S/V является аффинной.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed