Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Реализация гомологии и элаций как композиций перспектив
Гомологии и элации естественно появляются при изучении перспектив (см. § 1 и определение 4.2): обозначив через S, &' две различные гиперплоскости в
Рис. 1
Z
А
5*
132 ГЛ iv. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
P(E)1 выберем в P(E) также две различные точки S, S', не принадлежащие пи S1 ни S\ и обозначим через р (соотв. р') перспективу с центром S (соотв. S') гиперплоскости S на S'. Тогда ф = //-1ор будет биекцией S на себя, имеющей в качестве неподвижных точек все точки пересечения Sf)S' (образующие гиперплоскость в S)1 а также точку А пересечения прямой (SS') с S. Более того, ф сохраняет все проективные прямые в S1 проходящие через А. Построение образа W любой точки M выполняется
по правилам i), ii), которые называются по этой причине правилами перспективы. Отсюда выводится, что Ф = р'~х о р есть элация или гомология гиперплоскости S1 смотря то тому, принадлежит или нет точка А пересечению S (} S' (см. рис. 2). По поводу дальнейших подробностей см. упр. IV. 10.
Проективная группа
Томографии P (E) на себя образуют группу, называемую проективной группой пространства E и обозначаемую PGL(L).
По предложению 3.1, при условии dim (E) ^ 2 два элемента /, je GL(E) индуцируют одну и ту же томографию тогда и только тогда, когда существует элемент k ф 0 центра тела К, такой, что g = k\\ это эквивалентно тому, что gf~l = k Id? принадлежит центру GL(L) (см. упр. 11.16). Сформулируем
Предложение 3.4. Проективная группа FGL(L) изоморфна факторгруппе группы GL(L) по ее центру.
4. проективное пополнение аффинного пространства 133
4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Как мы видели в § III. 6, всякое аффинное пространство S допускает каноническую аффинную би-екцию на собственно аффинную гиперплоскость1) векторного пространства §, где § называлось век-* торным продолжением <S. Теперь мы можем высказать
> Определение 4.1. Проективное пополнение аффинного пространства <8 есть проективное пространство P(^T) его векторного продолжения.
Забыв пока это абстрактное определение, предположим, что рассматриваемое аффинное пространство S есть собственно аффинная гиперплоскость векторного пространства F, и пусть E — векторная гиперплоскость F9 направляющая &,
Ограничение на 8 канонической проекции р: F*->* -> P (F)9 обозначаемое pv есть инъекция S в P(F), образ которой дополнителен к P {E) (каждой точке Mg^ отвечает векторная прямая (ОМ); обратно, векторная прямая в F пересекает S тогда и только тогда, когда она не содержится в E). Эта инъекция
позволяет, таким образом, отождествить S G !P (F)W (E)у и удобно называть P(F) «проективным пополнением» & и в том случае, когда F не обязательно «каноническое» векторное продолжение <%. Эта «наивная» точка зрения оправдывается следующим предложением, которое выводится из предложения III. 7.2 и устанавливает изоморфизм между P(F) и Р(І).
> Предложение 4.1, Пусть F, F' — два векторных пространства над одним и тем же телом К п Ж (соотв. Ж) есть собственно аффинная гиперплоскость в F (соотв. F').
1) Для краткости аффинную гиперплоскость векторного пространства мы называем собственно аффшщо$, если она m про* ходит через начало,
)34 ' гл. iv. Элементы проективной геометрии
Каждая аффинная биекция Ж на Ж' имеет продолжение до изоморфизма F на F\ индуцирующего томографию P(F) на P(F')1).
Мы можем, таким образом, полностью определить проективное пополнение аффинного пространства, не прибегая к конструкции § III. 6: достаточно построить аффинную биекцию S на собственно аффинную гиперплоскость векторного пространства F9 и тогда P (F) будет искомым пополнением (определенным с точностью до изоморфизма).
При любом S можно положить F = E X где E — векторное пространство, ассоциированное с 8. Мы получим аффинную биекцию / пространства 8 на аффинную гиперплоскость ? X {1} в F9 если фиксируем некоторую точку /1є? и положим
(VMs=S) f(M) = (AMy 1).
Если S — аффинная гиперплоскость аффинного пространства SF, то достаточно выбрать некоторую точку О в SF\8 и снабдить SF структурой векторного пространства с началом О. Тогда мы вернемся к случаю собственно аффинной гиперплоскости векторного пространства {F0] проективное пополнение S1 изоморфно P (&~о) и отождествляется с S[JP(E)9 где E — направляющее векторное пространство S. Мы вновь получим при этом конструкцию конца § 1 с Sco=P(E) (множеством направлений прямых ъ8).
Для конкретизации понятия проективного пополнения используем следущие
Обозначения. Если S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством E9 то его проективное пополнение (определенное с точностью до изоморфизма) будет обозначаться S U U р (E) или просто 8\ множество P (E) будет называться бесконечно удаленной гиперплоскостью в S ц обозначаться Sx. Элементы P (E) будут называться бесконечно удаленными точками 8.
]) Отметим, что всякая трансляция (соотв. гомотетия) продолжается до элации (соотв. гомологии) P(F) (см, улр, IV. 7).
