Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение. Чтобы сохранить справедливость предложения 6.4 и в случае, когда точки не являются различными, можно условиться, что четверка с тремя Совпадающими точками и одной отличной от них—• всегда гармоническая.
Этот случай мало интересен, и практически мы ограничиваемся лишь четверками несовпадающих точек.
^ Теорема 6.5. Пусть (Л, B1 C1 D)—гармоническая четверка в проективном пространстве P(E) и ср.-P (E) P (F) — полу проективный морфизм. Если все точки ф(Л), ф(В), ф(С), ф(О) определены, то либо они все совпадают, либо образуют гармоническую чет-верку.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда Л, B1 С различны, что позволяет положить A = P(U)1 B = P(O)1 С = р(а + Ь) и D = p(a — b).
Обозначим через q каноническое проектирование F^ на P(F) и предположим, что ф индуцировано полулинейным отображением /: E->F. Полагая a' = f(a)t b' = f(b)y получим q>(A) = q(a'), q>(B)=q(b')f 4>(C) = q(f(a + b)) = q(a' + b') и q> (D) = q (f (а - b)) = = q(a/-~ b').
Если а\ Ь' зависимы, то точки ф(Л), ф(В), ф(С), ф(о) совпадают; если пара (а\ V) свободна, то они образуют гармоническую четверку.
В частности, если ф — гомография P(E) на P(F), то образ любой гармонической четверки из P (E) есть гармоническая четверка в P(F).
> Следствие. Пусть А — проективная прямая проективного /(-пространства P (E) и ф: P1 (К)-*- А — томографическая параметризация А (см. предложение 6.2); для того чтобы четверка точек А была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы их параметры
6. проективные прямые. гармоническое отношение 145
находились в гармоническом отношении в P1 (К).
Этот результат приводит нас к изучению гармо* нических четверок в P1 (K)=KU
Условие гармоничности четырех элементов а, ?, \t
При P1 (/()= KU {°°} случай, когда одна из точек а, ?, 7, б находится в бесконечности, решается в предложении 6.3 с учетом симметрии гармонического отношения. Например, (а, оо, 7, б)— гармоническая четверка тогда и только тогда, когда 7 + S = 2а {записанное в этой форме условие сохраняет силу и в случае характеристики 2). Поэтому можно считать а, ?, 7, б элементами К и с помощью томографии свести дело к случаю а = 0 и ? = оо, получив условие гармоничности в виде 7 + 6 = 0.
> Предложение 6.6. Для того чтобы четверка ^a1 ?, 7, б) различных элементов К была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
(y - ?)"1 (у ~ a) = - (б - ?);1 (б - a). (1)
'Доказательство. По соглашению, принятому в начале параграфа, любой элемент X^K отождествляется с элементом (K1 I) из P1 (К). Пусть ф при фиксированных скалярах a, ? (а ф ?) есть томография P1 (/С), индуцированная линейным отображением /: К2-+К2, (х, у) н->(х — г/a, х — г/?). Имеем
и гармоничность (a, ?, 7, б) равносильна гармоничности (0, оо, <p(v), ф(б)), т. е. ф(?) + ф(б) = 0. Итак, получаем
откуда и следует (1).
Можно проверить, что это условие сохраняется при перестановке а и ? или 7 и б или ^a, ?) и ([7,6).
6 є P1 (К)
Ф(a) = </(a, 1)) = (0, a-?> = 0, Ф№) = </№¦ l)) = <?-af O)=Oo
<p(y)
ф(б)
(у — a, Y-?) = (Y — ?),~(Y — а), (6-а, 6-?) = (o-?r1(6-a),
146 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРВД ,
Далее заметим, что найденное условие не зависит от способа отождествления P1 (К) с KU {оо}, так как его изменение приводит лишь к томографии P1 (К).
гВ [AR], § 9 гл. II, с. 111 и далее, можно найти различные эквивалентные формы соотношения (1). В случае коммутативного К запись (1), очевидно, наиболее удобна (см. упр. IV. 18).
Если характеристика К равна 2, то (1) влечет а = ? или у = б; если же эта характеристика Ф2> то соотношение (1) все еще можно считать верным и в случае Y = (a + ?)/2, б = оо, если условиться, что (оо — ?)-i(oo — а)= 1.
Интерпретация гармонических гомологии
Предложение 6.7. Пусть P (E) — проективное пространство, P (H) — проективная гиперплоскость в P(E) и S = P(D) — точка в Р(?)\Р(#). Гармоническая гомология с центром S и гиперплоскостью P (H) (см. пример 3 § 3) есть биекция ф пространства PiE)9 определенная следующими требованиями:
i) если M = S9 то ф (M) = М\
ii) если M Ф S п P обозначает точку пересечения P(H) с прямой (SM)9 то четверка (JR9 P9 M9 ф (M)) гармоническая (откуда ф (M) = M9 если M = P).
Доказательство. Напомним (см. пример 3 § 3), что ф есть томография P(E)9 индуцированная сим-метрией f пространства E в направлении D относительно гиперплоскости Я. Для любых 5 є ?>*, ft е Н* и (х9 у) ^ К2 выполнено /(jts + yh) = —xs + yh\ итак, образ при ф точки M = p(xs + yh) есть точка ф(М)= р(—xs-\-yh)9 гармонически сопряженная с M относительно пары S = p(s) и P = p(h). ?
В частности, если A9 В — две различные точки проективной прямой Л, то можно получить инволю-тивную томографию ф, положив по условию (VM^ єД) (A9B9M9(P(M))—гармоническая четверка (в нашем случае размерность P (E) равна 1).
Заметим в заключение, что любая биекция проективной прямой, переводящая гармонические четверки в гармонические, полупроективна, если характеристика К ^2 (см. упр. IV. 19),