Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 34

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 97 >> Следующая


> Теорема 7.4. Группа аффинных биекций «-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы GL(ZC1+1)» образованной матрицами вида (2), где А принадлежит GL(ZC").

В частности, группа аффинных биекций х ах + Ь тела ZC изоморфна подгруппе в GL(ZC2), состоящей из

матриц вида

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ИНЪЕКТИВНЫХ ПОЛУАФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Ниже мы обозначаем через <§, S' два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами Е, Е/ над произвольными телами ZC, ZC'. Мы дадим чисто геометрическую характе-ризацию полуаффинных отображений ^ в ^1). Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

> Теорема 8.1. Допустим, что dim (S) ^2. Для того чтобы инъективное отображение /: <%-+<%' было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

i) образ любой аффинной прямой из 8 был аффинной прямой в <§'\

ii) образы двух параллельных прямых были параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условий очевидна. Доказательство достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что / удовлетворяет условиям і) и ii).

1J Доказательства в § 8 и 9 частично используют приведенные в TFR], но относятся к более общей ситуации (произвольное тело, необязательно конечная размерность). С другой стороны, применение теоремы 4.8 упрощает изложение (см. § 9).

114 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ

a) Образы при f двух различных прямых Du D2 из S суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть Du D2 — прямые в S9 имеющие один и тот же образ /(Di) = /(D2), и пусть Л, В— две различные точки их общего образа. Тогда прообразы f~l(A), f~l(B) точек А и В принадлежат Dx и D2 одновременно и различны (в силу инъективности /), откуда следует, что Di = D2.

-->

b) Отображение фл: E-+E9 и н-> / (A) f (А + и) не

зависит от выбора А в S.

В самом деле, пусть В — другая точка S и C9 D —> —>

таковы, что AC = BD=---и. Если (ABDC) — несплющен-ный параллелограмм, то из H) и а) следует*, что его образ (/ (A) f (В) f (D) f (С)) — тоже настоящий параллелограмм, откуда

/(Л)/(С) =/(Я)/(D)1 Фл(и) = фв(и).

Если точки A9 B9 C9 D принадлежат одной прямой S)9 то предположение dim (S) позволяет выбрать в

S\3) точки P9 Q так, что PQ = и. Применяя предыдущий случай, имеем

/ (A) f (С) = /(P) f(Q) = f Wf(D),

откуда фл(а) = фв(а)4.

Отображение фл обозначаем отныне просто ф.

c) Отображение у: E-*E инъективно и удовлетворяет условию

(V (U9 V) <==Е2) ф (и + V) = ф (и) + ф (v). (1)

Инъективность ф сразу следует из инъективности /. С другой стороны, для любых данных uf v выберем

в S такие точки A9 B9 C9 что AB = и и BC = v. Тогда Ф (и + V) - / (Л) / (С) = f(A)f(B) + ї(В)ї(С)=ф)+ф).

d) Существует отображение р: К-*К', такое, что

(V (X9 и)єїКХЕ) ф (Xu) = р (X) ф (и). (2)

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ

115

Доказательство. Достаточно найти р, удовлетворяющее условию (2) при и Ф 0. Для заданной пары (А, и)

выберем л, ?, С в S так, что AB = и, AC = Xu. Так как точки A' = f (A)9 B'=f (В) и C'=f (С) коллинеарны,

то коллинеарны и векторы л'с = ф(Аи) и А'В' = у(а)\ отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем 6 (А, и), т'акого, что ф (Aw) = 6 (А, u)q>(u). Остается доказать, что 9(A,, и) не зависит от вектора и (по предположению ненулевого).

1) Если и, V —два неко л линеарных вектора, то не-коллинеарны и ф(и), ф(у); в противном случае образы двух прямых Ьь Z)2, проходящих через одну и ту же точку л с направляющими и, v, совпадали бы, что невозможно в силу а).

Для любого А g К имеем

ф(А(и + v)) — у(Хи) + Cp(Xv) = 6(А, и)у(и) + 6(А, у)ф(и)= =Є(А, и+о)ф(а+іО==є(а, и+и)(ф(и) + ф(о)),

откуда в силу неколлинеарности ф(м), ф(и) 6(А, и) = Є (А, и + і>) = 6(А, и).

2) Если U9 V — коллинеарные ненулевые векторы, то предположение dim(?) ^ 2 позволяет выбрать W^iE так, что пары (и, до) и (и, до) свободны. Отсюда находим, что

(VA є К) Q(X, U) = Q(X, W) = Q(K v).

Так для каждого XgK отображение Е\ {0}->К, и ь-> 6 (Я, и) есть константа, мы обозначим ее через р (Я).

е) Отображение р: К-*-К' является изоморфизмом тел.

Выбрав U^ Б\ {0}, мы увидим прежде всего, что соотношения ф ((Я + \х) и) = ф (Xu) + ф и ф(Аци) = = P (Ац) Ф (") = P (А) ф (|ш) = р (Я) р (|і) ф (и) влекут (с учетом ф (и) Ф 0)

р(А + ц) = р(Я) + рМ и р (а|і) = р(А)р(|і),

т. е. показывают, что р — гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки AgS отображение Я ь-> л + Aw есть биекция К на прямую Z); ограниче-

116 гл. iii. структура аффинного пространства над телом

ние / на D есть биекция D на прямую f{D). Следовательно, композиция K->f{D), Xt-^f (А-\-Xu) == = / (Л) + р (А) ф (и) биективна. Отсюда вытекает, что отображение р: К —> К' биективно.

Итак, р — изоморфизм тел, ф — полулинейное отображение, ассоциированное с р, и / — полуаффинное отображение. ?

Случай плоскости

Если S и S' двумерны, то условие ii) в теореме 8.1 следует из условия і) и инъективности /. Мы можем, таким образом, сформулировать
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed