Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 2.2. Пересечение произвольного семейства (Li)1^1 проективных подпространств в P(E) есть также проективное подпространство в P(E)9 быть может, пустое.
Доказательство. Полагая L=H получаем
/б/
р"1 (L)= П р"1 (Li)9 и р"1 (L) U{0} есть пересечение
і є I
векторных подпространств p~l (L1) U {0}.
Пример. Заметив, что всякая векторная плоскость и векторная гиперплоскость в E имеют по меньшей мере общую векторную прямую, получим
> Предложение 2.3. Пусть L — проективная гиперплоскость в P (E) и Д — проективная прямая в P (E)9 не лежащая в L. Тогда LnA имеют в точности одну общую точку.
Однородные координаты
Предположим, что E имеет конечную размерность л+1 (и тогда по определению размерность P[E)
126 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
равна /г), и пусть (е()1<{<п+1 — базис Е. Для произвольной точки хєР (E) существует по меньшей мере один (я + 1)-набор (Xi, X2, Хп+і) элементов /С, такой, что точка Іє?с координатами (X1) в базисе (et) принадлежит р~1(х)\ тогда говорят, что (Хь X2, Xn+i) — набор однородных координат точки х относительно базиса (ei). Другие наборы однородных координат точки х в этом базисе имеют вид (ХХ\9 ... ЬХп+і), где X е /С*. Обратно, если (Хь Хп+\)—набор из п+1 скаляров, не все из которых равны нулю, то существует единственная точка X^P(E)9 допускающая их в качестве однородных координат относительно базиса (ei).
В частности, если E = Кп+\ то задание некоторой точки в P(ZC"+1) равносильно заданию набора (Хь ...
Хп+і) из п + 1 элементов /С, не все из которых равны нулю, определенных с точностью до общего множителя слева.
Отметим, что стандартное проективное пространство P(ZC"+1) обозначается также Рп(К). Понятие проективного репера будет изучено в упр. IV. 4.
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ТОМОГРАФИИ
Обозначим через E9 F два левых векторных пространства, через р: Е*-*Р(Е) и q: F*-*- P (F) их канонические проекции на соответствующие проективные пространства и через f: E-+F полулинейное отображение (см. § II. 4).
Если К — основное поле пространства E и 0 —ассоциированный с / изоморфизм тел, то
(V(Kx)e=KXE) f(К X) = B(Vf(X)9
и потому соотношение р(х) = р(у) (где (х9 у) е E X XE)9 влечет q °f(x) = q °f(y), когда }(х)Ф0. Ограничение / на Е\К& f проходит, следовательно, через факторпространство, и существует единственное отображение ф: ?\Кег P (E)9 для которого (pj>/? =
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЗМЫ. ТОМОГРАФИИ 127
= q °f, что выражается коммутативной диаграммой ?\Кег/-^>/ч
p(E\Kerf)-+P(F)
Ф
Определение 3.1. Если f: E -+F— линейное (соотв. полулинейное) отображение, то отображение ф: р(Е\Кет /)->¦ P (E)1 удовлетворяющее указанным условиям, называется проективным (соотв. полупроективным) морфизмом P(E) в P(F)1 индуцированным f.
> Заметим, что <р определено на всем P(E) только тогда, когда f инъективно (т. е. когда Ker / = {0}).
Примеры. 1) Пусть / — эндоморфизм E1 получаемый проектированием на векторную гиперплоскость H параллельно векторной прямой D (не содержащейся в H). Тогда Ker / = D и р (D*) есть точка 5 в P(E). Морфизм ф, индуцированный f, является отображением P(?)\{S} на проективную гиперплоскость р (H#); соотношение
(V* є EJ f (x) — xs=D
показывает, что точки М = р(х), ф(М) = р of(х) и S = р (D*) принадлежат одной и той же проективной прямой в P(E). Это дает простую геометрическую интерпретацию ф: для каждой точки AIeP(L)X(S} точка ф(М) есть точка пересечения прямой (SM) с проективной гиперплоскостью P(H).
Полученный таким способом проективный морфизм будет называться проектированием P (E) из центра S на проективную гиперплоскость P(H).
По поводу обобщения этого примера см. упр. IV. 6.
2) Проективные морфизмы в случае конечной размерности. Предположим, что E1 F конечномерны, и пусть (еЛ — базис в E1 а (е'Л — базис в F.
Линейное отображение f: E-+F определяется зада-
р
нием матрицы (ац)9 такой, что / (et) = ajte'r Обоз-
128 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
начим через ф проективный морфизм, индуцированный /, и через (хь) набор однородных координат точки хєР(?) в базисе (et). Тогда точка ф(х) допу-
п
екает скаляры Ui=Y xiai\ в качестве однородных 1=1
координат в базисе (^), однако следует заметить, что матрица (ati) не полностью определяется заданием ф, как показывает следующий общий результат:
Предложение 3.1. Пусть E9 F — два векторных пространства над телами /С, К'. Для того чтобы два полулинейных отображения Д g из E в F индуцировали один и тот же полупроективный морфизм ф: P (?)-^Р (F)9 достаточно, чтобы существовал ненулевой элемент k е К\ такой, что g = Щ\ это условие также и необходимо, если ф не постоянно.
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Обратно, если /, g индуцируют один и тот же проективный морфизм ф, то векторы f(x)9 g(x) должны быть оба нулевыми или коллинеарными; отсюда вытекает существование функции р: ?\Ker /-> К\ удовлетворяющей условию g(x)= p(x)f(x).
Если x1 у — элементы E9 такие, что пара (f(x)> f(y)) свободна, то соотношение
