Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ 147
7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
^ Теорема 7.1. Пусть Аь A2, Аз, a4 — четыре прямые проективной плоскости П, имеющие общую точку S. Если существует проективная прямая А в П, такая, что точки Л/ = А/ПА образуют гармоническую четверку, то то же самое выполняется и для любой другой проективной прямой А', не проходящей через 5,
Доказательство. Это вытекает из того, что проекция из центра S определяет томографию А на А', и из теоремы 6.5 (см. рис. 4).
S
^ Определение 7.1. Если четыре прямые проективной плоскости удовлетворяют условиям теоремы 7.1, то будем говорить, что они образуют гармоническую четверку (прямых)1).
Ради общности говорят, что четыре (пересекающиеся в одной точке или параллельные) прямые аффинной плоскости ^ образуют гармоническую четверку, если ее образуют их пополнения в
1) Это частный случай понятия «гармонической четверки гиперплоскостей» в произвольном проективном пространстве і см. упр. IV. 24)і,
148' гл. iv. элементы проективной геометрии
Пример. Пусть 9— аффинная плоскость над телом К характеристики Ф2 и (A1 Ву С, D)— параллелограмм в 9. Тогда диагонали Аь A2 и «медианы» Аз, A4 этого параллелограмма образуют гармоническую четверку (см. рис. 5).
Рис. 5
4
В самом деле, эти четыре прямые пересекаются в одной точке, их проективные пополнения A1, A2, A3, A4 пересекают проективную прямую А = {AB) плоскости & в точках Ау By А ос, /, гдє AOO бесконечно удаленная точка прямой А, а / — середина отрезка [Л,?]. Сформулированное утверждение вытекает теперь из предложения 6.3.
С помощью отправки в бесконечность отсюда можно вывести следующую более общую теорему.
^ Теорема 7.2. Пусть П — проективная плоскость над телом характеристики Ф2 и (А В С D)—четырехугольнику образованный четырьмя точками, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Обозначим1) E = (AB) П (CD), F= (AD) f| (BC)9 G=(AC)Ci(BD). Тогда прямые (GAC)1 (GBD)9 (GE)y (GF) образуют гармоническую четверку (см. рис. 6).
1) Точку пересечения прямых (AB) и (CD) мы обозначим (AB) П (CD).
7. гармонические четверки прямых ha плоскости Н9
Доказательство. Если мы отправим в бесконечность прямую {EF) у то получим аффинную плоскость, в которой (А В С D)—параллелограмм с центром G1 и тем самым вернемся к предыдущему примеру.
F
Рис. 6
Рис. 7 А E-E'
Замечание. Если выполнить те же действия в случае тела характеристики 2, то (А В С D) по-прежнему перейдет в параллелограмм, но его диагонали |[(ЛС) и {BD) будут параллельны. Это означает, что точки Ey F, G лежат на одной прямой; на рис. 7 изображена так называемая конфигурация Фано. Она позволяет охарактеризовать проективные плоскости над телами характеристики 2. Сформулируем
> Предложение 7.3. Для того чтобы основное тело пооективной плоскости П было характеристики 2,
150 JV; ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
достаточно, чтобы существовала четверка точек A9 B9 C9 Dy никакие три из которых не лежат на одной прямой, такая, что точки E = (AB)(](CD), F = (AD)O 0(BC)9 G = (AC) 0(BD) коллинеарны, и тогда то же самое имеет место для любого четырехугольника в П.
Действительно, в аффинной плоскости 9і из существования настоящего параллелограмма с параллельными диагоналями следует, что характеристика равна 2; тогда то же самое имеет место и для любого параллелограмма.
Применение к построению гармонически сопряженной точки
Если даны три точки A9 В, E на прямой, то легко восстановить рис. 6, проведя две различные секущие (AF) и (BF)9 а затем секущую (ECD)9 точку G выберем как пересечение прямых (BD) и (AC)9 тогда гармонически сопряженной с E относительно точек л и В будет точка E' пересечения прямых (GF) и (AB). Из этого построения ясно, что всякая биекция П, переводящая прямые в прямые, сохраняет гармоническое отношение. Можно было бы воспользоваться этим для доказательства основной теоремы проективной геометрии (см. § 12 и упр. IV. 19).
Тот же рисунок позволяет построить четвертую прямую гармонической четверки по трем заданным; положив A1 = (ZM), A2 = (FB)9 A3 = (FE)9 получим M = (FG).
Наконец, тот же рисунок позволяет доказать, что понятия «гармонических четверок» для точек и прямых двойственны (см. упр. IV. 25).
8. ТОМОГРАФИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
> Теорема 8.1. Пусть А, А'— проективные прямые над одним и тем же телом /С. Для любой тройки (л, B9 С) различных точек А и любой тройки (А\ В', С) различных точек А' существует по меньшей мере одна гомография <р прямой А на А', такая, что ф(л) = А'% cp(?) =~ В\ ф(С)= С\ Более того, эта го*
8. томография прямой. двойное отношений 161
мография единственна тогда и только тогда, когда тело К коммутативно (т. е. является полем).
Доказательство. Положим Л = P (E), А' = P (?'), где Е, E' — две векторные плоскости над К. По сделанному выше замечанию (стр. 142) в E существует базис (a, fr), а в E'— базис (a', fr'), такие, что
А = р(а), B = p(b)t С = р(а + Ь),
А' = р' (а'), В' = р' (fr'), С = pr (a' + fr'),
