Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
'4. проективное пополнение аффинного пространства 135
Заметим, что если 8 имеет конечную размерность п, то размерность 8 равна n+ 1, так что проективное пополнение пространства 8 имеет ту же размерность, что и 8 (этим оправданы соглашения, принятые в § 1).
В частности, если 8 — аффинная прямая, размерность ее направляющего пространства E равна 1, з P (E) сводится к одной точке, называемой бесконечно удаленной точкой прямой 8 и обозначаемой просто оо. Проективное пополнение аффинной прямой 8 обозначается просто 8\] {оо}.
Как следствие предложения 4.1 получаем
Предложение 4.2. Если 8, 8' — два аффинных пространства над одним и тем же телом К, то всякая аффинная биекция f: 8 -> 8Г продолжается до
гомографии 8 = 8 U P (E) на 8' = 8 U P (E'), причем продолжение / на P(E) есть томография P[E) на Р(Е'), индуцированная линейной частью f.
Теорема о проектированиях
Теперь мы в состоянии точнее установить характер центрального проектирования, определенного в § 1.
Определение 4.2. Пусть П — проективное пространство, S — его точка, Sf S' —- две проективные гиперплоскости в П, не проходящие через 5. Биекция S на 2", которая каждой точке M^S ставит в соответствие точку пересечения прямой (SM) с 3?\ называется перспективой (или перспективным отображением) S на S' из центра S.
Эта биекция есть не что иное, как ограничение на S проектирования из центра S пространства П на S' (см. § 3, пример 1). Так как это проектирование ф является проективным морфизмом, его ограничение на S также есть проективный морфизм (см. предложение 3.2) и, в силу биективности, томография S на 3". Имеет место следующая
Теорема 4.3. Если S?, SS'— две проективные гиперплоскости проективного пространства П, то любая перспектива S на S' есть гомография.
136 А /гл. iv. элементы проективной геометрии
Замечание. Если П конечномерно, то можно доказать, что каждая томография ф гиперплоскости на гиперплоскость !?' пространства П есть произведение конечного числа перспектив фь ... у ф„:
Ф2 Z-^»Zx-^g2-* ... ^S9
(см. [AR], § 10 гл. II и упр. IV. 16).
Вернемся теперь к построению § 1: если Ж, Ж'' — две аффинные гиперплоскости аффинного пространства <2Г, то множества S — Ж (J Ж ^ &'= Ж I) введенные в § 1, отождествляются с проективными гиперплоскостями пополнения В — S U <%оо пространства <?Г, а биекция j? на 3?\ продолжающая проектирование с центром О, есть не что иное, как перспективное отображение S на S' с центром О: естественное продолжение центрального проектирования одной гиперплоскости на другую есть, стало быть, го-мография.
От проективного назад к аффинному
Будем исходить теперь из проективного пространства P(E)1 и пусть H— векторная гиперплоскость в Я. Если Ж — собственно аффинная гиперплоскость в ?*, параллельная H1 то каноническая проекция позволяет отождествить Ж с Р(?)\Р(#). Таким образом, Р(Е)\Р(Н) допускает аффинную структуру, проективным пополнением которой является P(E)9 а множеством бесконечно удаленных точек P(H).
Эта аффинная структура априори зависит от вы* бора аффинной гиперплоскости Ж, параллельной НЛ Но если мы заменим Ж параллельной гиперплоскостью Ж' и обозначим через /, ]' ограничения на Ж, Ж' канонической проекции р: ?^^[^(?), то найдется такой элемент k^K*y что / (х) = /'(kx) или j Z= j\ohk, где hk — ограничение на Ж векторной гомотетии с коэффициентом k (см. рис. 3).
Если К коммутативно, то hk аффинно, так что аффинные структуры, определяемые на P(Е)\Р (H) отождествлением с Ж, или Ж', совпадают.
4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 137
Если К не коммутативно, то hk — полуаффинное отображение, ассоциированное с внутренним автоморфизмом X^—+kXk~{ (см. § П. 4); таким образом, если мы обозначим через Ж (соотв. &') аффинное пространство, полученное отождествлением P (Е)\Р (H) с Ж (соотв Ж'), то тождественное отображение S на S' будет лишь полу аффинным. Другими словами, различные аффинные структуры, получаемые изменением Ж, будут лишь «полуизоморф* ными». Но это не является практической помехой* мы просто сформулируем следующее утверждение:
Рис. 3
^ Теорема 4.4. Если P (E) — проективное пространство и P (Я)—проективная гиперплоскость в нем, то множество Р(?)\Р(#) допускает по меньшей мере одну структуру аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством H9 проективное пополнение которого есть P(E).
> Будем говорить, что такая аффинная структура получена исключением проективной гиперплоскости P (Я), или, более образно, отправкой P{H) в беско* нечность ([BE] ,ч. 1).
Этот результат имеет большое практическое зна* чение, так как позволяет упрощать некоторые задачи проективной или аффинной геометрии (см. § 7, 10, U9 12).
Отметим, что если А — проективная прямая в P(E)9 то ее пересечение с Р(Е)\Р(Н) есть аффинная прямая, которую мы назовем ограничением (или сужением) Д. Для того чтобы ограничения двух про-
133 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
активных прямых Au A2 были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы Ai, A2 пересекались в точке на F(H).
