Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
P(x + y)(f(x) + f(y)) = g(x + y) = g(x) + g(y) = = 9(x)f(x) + 9(y)f(y)
влечет р (х + у) = р (х) = р (у).
Однако если ф не постоянно, то f(E) имеет размерность ^2; поэтому если х9 у — такие элементы E9 что f(x)9 f(y) ненулевые, но пропорциональные, то существует Z^E9 такой, что пары (f(x)9f(z)) и (f(y)y f(z)) свободны. Тогда р(л:) = р(у) = p(z) и функция р постоянна на Z:\Kerf; обозначив эту постоянную через k, получим g(x) = kf(x) для всех x ^E (поскольку Кегg = Кег/), откуда и вытекает наш результат. ?
Замечание. Если /, g линейны, то соотношение g = kf требует, чтобы k принадлежал центру К (предложение II. 4.6).
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИаМЫ. ТОМОГРАФИИ 129
Следствие. Пусть E9 F — два векторных пространства над одним и тем же телом /С. Для .того чтобы полулинейное отображение f: E-+F ранга ^2 индуцировало проективный морфизм, необходимо и достаточно, чтобы / было ассоциировано с внутренним автоморфизмом тела /С.
В самом деле, для линейности kf необходимо и достаточно, чтобы / было ассоциировано с внутренним автоморфизмом Я н-> k~lXk.
Свойства
Предложение 3.2. Пусть ф — проективный (соот^ полупроективный) морфизм P(E) в P(F) и ?)ф — его область определения. Если L — проективное подпространство в P(E)9 то ограничение ф на L{\D^ является проективным (соотв. полупроективным) мор-физмом, образ которого — некоторое проективное подпространство в P(F).
В частности, образ ф есть проективное подпространство в P (F).
Действительно, при введенных обозначениях ограничение ф на L 0 Dy есть морфизм, индуцированный ограничением / на векторное пространство V = = р-х (L) U{0}, а его образ есть проективное подпространство в P(F)9 индуцированное f(V).
Если ф определено на всем P(E)9 то, кроме того, полный образ проективного подпространства из P (F) будет проективным подпространством в P(E).
Случай инъективных морфизмов
Предложение 3.3. Полупроективный морфизм ф, индуцированный полулинейным инъективным отображением /: E-^F9 сам является инъективным; для биективности ф необходимо и достаточна биектив-ность f.
Доказательство. Пусть у\ = р(х\) и у2 = р(х2)— две точки в P(E)9 такие, что Ф(^Zi) = Ф (^/2). В обозначениях, введенных в начале параграфа, получим
g о / (X1) = ф (у{) = ф (у2) = gof (х2), 5 Ж& Лелон-Феррац
1,30 ГД. IV., ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
откуда следует, коллинеарность f(x\) и f(x2); если / инъективно, то сами х\, X2 коллинеарны и р(х\) — = р(х2). Таким образом, ф инъективно. Второе утверждение следует из того, что ф (р (E)) есть проективное подпространство в P(Z7), индуцированное Im/.
Томографии
Определение 3.2. Отображение ф: P(E)—> P(F) называется гомографией (английский термин project!-vily), если существует линейное биективное отображение /: E-+F1 такое, что фор = 90/, где р: E*—.>• -+•P(E) и q: F*-+P (F)— канонические проекции.
3) Гомологии. Пусть H — гиперплоскость в E1 а — элемент из Е\Н и k — ненулевой скаляр. Отображение /: E-+ E1 f(x + Xa) = х + Xka для любых х g H и X G= К линейно и биективно. Томография ф пространства P(E), индуцированная /, имеет в качестве неподвижных точек точку А = р (а) и все точки проективной гиперплоскости P(H). С другой стороны для каждого вектора у E его образ f(y) принадлежит векторной плоскости, порожденной а и у. Отсюда следует, что для произвольной точки M g P(E) три точки A1 M и M' = ф (л1) принадлежат одной проективной прямой.
По определению, такая томография ф будет называться гомологией с центром А и гиперплоскостью P(1H). Она инволютивна при k = 1 (в этом случае она сводится к тождественному преобразованию) и при k = —1 (в этом случае / есть симметрия относительно гиперплоскости H с направляющей векторной прямой Ka). В последнем случае ф называют гармонической гомологией, эта терминология оправдана предложением 6.7 ниже.
^ Заметим, что задание множества неподвижных точек1) и образа P' одной из не принадлежащих ему точек P позволяет построить образ NY произвольной
]) Если гомология не тождественная, то, как уже отмечено выше, ее неподвижными точками будут центр и точки плоскости гомологии. — Прим. перев.
3. ПРОЕКТМОРФИЗМЫ. ГОМбТї>АФИИ
точки M по следующим правилам, вытекающим из свойств ф (см. рис. 1):
i) точки Ау Mt M' лежат на одной прямой;
ii) прямые (MP) и [MT') пересекают P{H) в одной и той же точке /.
4) Элации. Пусть h — ненулевая линейная форма на ? и а є ?# •— такой вектор, что Л(а) = 0. Тогда отображение /: Е-+Е, x*—>x-\-h(x)a есть автоморфизм E1 называемый трансвекцией (см. упр. II. 14),
обратным к которому является отображение > *—>у — h(y)a. Индуцированный таким / морфизм ф пространства P (E) имеет в качестве неподвижных точек все точки проективной гиперплоскости P (Кег/); более того, для любой точки M^P(E) точки А = = р(а)у M и M' = ф(М) лежат на одной прямой (так как f(x) принадлежит векторной плоскости, порожденной а и х).
Полученная таким образом томография ф называется элацией.
И здесь, полагая Я= Ker ft, мы увидим, что задание A1 P(H) и образа P' какой-либо не неподвижной точки P позволяет построить образ M' любой точки, по тем же правилам i), ii). Заметим, однако, что в этом случае А є P (Я).
