Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.3. Проективная плоскость над конечным полем порядка k содержит в точности k2-\r + А + 1 точек и k2 + k + 1 проективных прямых.
6. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
Стандартная проективная прямая
Напомним, что стандартная проективная прямая P1W)=P(K2) есть фактормножество К2Х{(0,0)} по отношению эквивалентности Si:
(х\ у') 91 (х, у) <г* (3k є= К*) х' == kx, у' = ky.
Ради краткости класс эквивалентности пары (X1 у) будет обозначаться (х, у).
В соответствии с общей теорией (§ 4) P1 (К) изоморфно проективному пополнению К = К[) {оо} аффинной прямой /С. Точнее, мы отождествляем каждый элемент X^Kc элементом (X, 1> из P1 (К) (что сводится к отождествлению К с аффинной прямой у = 1 в /С2). Отсюда следующее правило (если не оговорено противное):
Точка (Xt\i) из P1 (К) отождествляется с элементом JLi-1A, в К при \х Ф 0 и обозначается оо, если |л = 0.
Параметризация проективной прямой
Легко получается следующее
Предложение 6.1. Если А = р(а) и В = р(Ь)—< две различные точки проективного /(-пространства P(E), то в P(E) существует единственная проективная прямая, содержащая А и ?. Это есть множество точек вида р(Ха + \xb), где (X, \х) пробегает K2M(O, 0)}.
В самом деле, поскольку А и ? различны, векторы а, Ь є? независимы и искомая проективная прямая
J 42 ГЛ. IV. ЭЛШЁМЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
индуцируется векторной плоскостью, порожденной а Ій Ь. Эта проективная прямая будет просто называться прямой (AB).
Действительно, отображение f: К2 -> E9 (X9 \х) н->Aa + jx& является изоморфизмом К2 на плоскость P = Vect(a,ft) в Еу и этот изоморфизм индуцирует томографию P(ZC2) на прямую (AB). Сформулируем следующее
Предложение 6.2. Если А — проективная прямая, соединяющая две точки А = р(а) и В = р(Ь) проективного /(-пространства P(E), то параметризация
P1 (К) -» А, (К її) н-> р (Xa + lib)
является гомографией.
Замечание 1. Если P(E)— проективное пополнение аффинного пространства <§ и если S отождествить с собственно аффинной гиперплоскостью в Et то можно положить а =* A1 b = В. Тогда точка р(Ха + ^b) будет барицентром (A9 X) и (B9 |ы); при X -f- |л = О он находится в бесконечности. Это замечание позволит нам переходить от аффинной точки зрения к проективной и обратно.
Гармонические четверки
> Определение 6.1. Пусть Л, В — две различные точки проективного /(-пространства P(E)9 и пусть
& р-1 (А), b ^ р~х (В). Гармонически сопряженной с точкой С = р(Ха + \хЬ) прямой (AB) относительно точек AuB называется точка D=^p(Xa — \xb) той же прямой.
Легко проверить, что точка D не зависит от выбора а в р~1 (А) и Ь в р~х(В)\ она единственным образом определена заданием точек Л, B9 С.
Если D выбрана указанным образом, то говорят, что (Л, B9 C9 Z))— гармоническая четверка.
Если C = A9 то ji = 0 и D = C = A. Если C=B9 то X = O и D = C = B.
> Если Л, В, С различны, то можно выбрать а и o так, что С = р(а + Ь); в этом случае D = р(а — Ь) (достаточно заменить а на Xa и Ь на Теперь легко видеть, что С и D совпадают только в том слу- j;
«. ПРОЕКТИВНОЕ №Я№Ж. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ Щ
чае, когда К —поле характеристики 2: в самом деле, существование скаляра Kt такого, что а — b = k(a-\~{ r\-b)9 влечет k=\ =—1 (так как пара (а, Ь) свободна).
Основной пример
Предложение 6.3. Пусть A9 В — две точки аффинного пространства S над телом характеристики Ф29 С — их середина и оо — бесконечно удаленная точка прямой (AB). Тогда (A9 B1 C9 оо) — гармоническая четверка в S.
Доказательство. Отождествим S с собственно аффинной гиперплоскостью векторного пространства E9 что позволит положить S=P (E) и воспользоваться приведенным выше замечанием 1; тогда С = (Л+, ;+ В)/2 = р(А + В), в то время как р(А—В)— бесконечно удаленная точка прямой (AB). Таким образом, (Л, B9 C9 оо) — гармоническая четверка в &.
В частности, если а, ? — различные элементы тела К характеристики Ф29 то (а, ?, (а + ?)/2, оо) — гармоническая четверка в P1 (К) = Kl) {оо}.
Замечание 2. Если A9 В — две различные точки аффинного пространства S и K9 \х — скаляры, такие, что Хф\х и X + \х Ф О, то точки С = $((A9X)9 (В,\х)) и D = 31((A9X)9 (В,—\i)) гармонически сопряжены относительно AhBbSh принадлежат S. Мы говорим тогда, что точки (A9 B9 C9 D) находятся в гармоническом отношении в 8.
Свойства гармонического отношения
Отношение «(Л, В, C9 D) — гармоническая четверо ка» очевидным образом симметрично, с одной стороны, по первой паре точек A9 В и, с другой стороны, по второй паре C9 D (достаточно поменять местами а и b и заменить b на —b в определении 6Л). Кроме того, имеет место
Предложение 6.4. Если характеристика основного тела К отлична от 2 и гармоническая четверка 1(A9 B9 C9 D) состоит из различных точек, то четверка [(С, D, Л, В) также гармоническая.
Н4 гл. iv. элементы проективной геометрии
Доказательство. Так как точки A1 B1 С различны, можно положить Л = р(a) t В = p(b)f С = р(a + b), откуда D = р (а — Ь). Положив с = а -\- bt d = а — 6, получим сd = 2а и с — d = 26, откуда, в силу саг(/С)^=2, имеем A = p(c + d), В = р(с — d). Таким образом, (C1 Д AyB) — гармоническая четверка.
