Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
X + її + v = 0 и XA + \xB + vC = 0. (1)
Соотношения (1) на самом деле равносильны од-—> ~->
ному соотношению XCA + \iCB = 0; они интересны своей симметричной формой относительно A9 В, С и возможностью складывать подобные соотношения.
2) Если Z Xt Ф O9 то барицентром системы
і є I
(A19 Xi)i(Bf является точка пересечения с F1 векторной
прямой с направляющей Z^H« в E-
3) Для того чтобы семейство (Аі)ІЄІ точек из S было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство
по ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
(Ai)1^1 было свободным ( соотв. семейством образующих) в векторном пространстве F.
> В частности, аффинный репер & является базисом Fy содержащимся в Fj.
Векторная интерпретация аффинных отображений
Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений.
Предложение 7.2. Пусть F, Fr — два векторных пространства над одним и тем же телом К и F1 (соотв. Fi) — аффинная гиперплоскость в F (соотв. F'), не проходящая через начало; обозначим F0 (соотв. Fq) векторную гиперплоскость, параллельную Fi (соотв. Fi).
a) Если ф: F -> F' — линейное отображение, такое, что cp(Fi) ei Fi, то ограничение ф на Fx есть аффинное отображение Fi в Fi, линейная часть которого есть ограничение ф на E0.
b) Обратно, если /: Fx ->Fi — аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение ф: F-+F', ограничение которого на F\ совпадает с f.
Доказательство, а) Если ф: F ->F' линейно и ф(Fx)Ci
CiFu то для любых точек Л, В из Fx имеем ф(В) — —> —>
— ф(Л) = ф(ЛВ) и ЛВ е F0. Ограничение ф на F1 аффинно с линейной частью ф0: F0-^F0, «ь->ф(м).
Ь) Обратно, пусть /: Fi -> Fx — аффинное отображение. Фиксируем точку Л в Fj и обозначим через D (соотв. D') векторную прямую в F (соотв. F'), порожденную Л (соотв. /(Л)) (рис. 4). Тогда F = F0©/), F =Fo®o, и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
J) Ф(Л) = /(Л),
ii) ограничение ф на F0 равно линейной части /.
Но существует единственное линейное отображение ф из F в F', удовлетворяющее этим условиям (ф определено своими ограничениями на дополнительные
7. приложения теоремы о погружении \\\
ВПП F0 и D пространства F); тогда ограничение ф на Fi есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и /, и принимающее в точке А то же значение, что и /, а тем самым равное /, откуда вытекает доказываемый результат. ?
> Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отобраоюениями Fi в Fi и линейными отображениями F в F', удовлетворяющими условию Ф (Fi) cz Fu
С другой стороны, если Fr = F и Fi = Fu это соответствие сохраняет композицию отображений (компо-
Рис. 4
зиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции). Наконец, если ф — автоморфизм F и Fi — аффинная гиперплоскость в F1 то включение (p(Fi) CiFi влечет равенство ф(/7I) = Fu В самом деле, ф(Л) есть аффинная гиперплоскость в F1 и достаточно применить следствие теоремы II. 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в F.
Таким образом, мы можем сформулировать
Предложение 7.3. Пусть F — векторное пространство, Fi — аффинная гиперплоскость в F1 не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций Fi на стабилизатор Fi в GL(F) (подгруппу в GL(F)1 состоящую из автоморфизмов ф, для которых (p(Fi) =Fi).
> Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда F9 Fr — векторные продолжения аффинных про-
112 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
странств S9 S'', a Fi9 F\ — образы S\ S' при канонических погружениях /: S-^F9 \'\ Sr~>Fr: всякое аффинное отображение S в Sr отождествляется с линейным отображением ф пространства F в F\ удовлетворяющим требованию ф (Fi) cz Fu и группа аффинных биекций S отождествляется с подгруппой в GL (F), сохраняющей аффинную гиперплоскость F1.
Случай конечной размерности
Если аффинное пространство S имеет конечную размерность п, то в F = I можно выбрать базис fa, • •> еп+1) так, что et s=F0 при 1 </<я и en+l^F{. Тогда (еп+{; еи еп) есть декартов репер Bf1 = ^ с началом еп+г (рис. 4).
В этом случае F1 является множеством точек х=
= Tj хієі пространства F1 таких, что x — en+i^F0=
і
= Vect(eb ..., еп)\ следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением Xn+1 = I в базисе fa)1</<n+1.
Эндоморфизмы ф пространства F9 удовлетворяющие условию ф (F1) cz Fb — это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе (et) имеет вид
(2)
о
о 1
где А = (aij) — квадратная матрица порядка п. Эндоморфизму ф с матрицей (2) соответствует аффинное отображение f: Fi ->Fi, координатное выражение которого в декартовом репере (en+i\ е\, еп) имеет форму
ft (X) = Z xkaik + bt (1 < і < n). (3)
Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции ото-
8. геометрическая характеризация из
бражений. С другой стороны, эндоморфизм ф с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство ф(/71)== = F\. Таким образом, получается