Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 31

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 97 >> Следующая


Последнее утверждение получим, выбирая P в качестве начала в S.

Следствие. Если H— подгруппа в GL(E) (соотв. в GSL(Z;)), то Lrx (H) есть подгруппа в GA(S) (соотв. в GSA(S)); при этом если H — инвариантная подгруппа, то такова же и Lrx (H).

> В частности, если H = Id^, то L-1 (H) есть инвариантная подгруппа в Gk(S)1 образованная трансляциями.

Если Н={±Ые}1 то L~l(H) есть инвариантная подгруппа в GA(S)1 образованная трансляциями и центральными симметриями.

Если H — инвариантная подгруппа группы GSL(Z;), образованная векторными гомотетиями (см. § II. 4), то L~l (H) есть инвариантная подгруппа в GSA(^), называемая группой дилатаций.

5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ юз

Пусть f — дилатация, не сводящаяся к трансляции;

тогда L(f)—векторная гомотетия вида uv—>ku, где

k Ф 1. В этом случае / имеет единственную неподвиж-

—>

ную точку /, определяемую из условия (k — 1) AI = ->>

= /(Л)Л,где А— произвольная точка 8. Таким образом, f выражается какМн-»/ + kIM.Такое отображение называется гомотетией с центром I и коэффициентом k.

Сформулируем

> Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии 8 составляют инвариантную подгруппу группы GSA (<?Г), называемую группой дилатаций 8\ Мы обозначаем ее Dil(<T).

По поводу чисто геометрической характеризации этой группы см. упр. III. 8.

Если основное тело К коммутативно, то группа DiI(^) является инвариантной подгруппой группы GA(ff).

Проектирования

Назовем проектированием 8 любое аффинное отображение р пространства 8 в себя, удовлетворяющее условию р о р = р.

Рис. 2

Для такого отображения любая точка Лєр(^Г) является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства 8д. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

104 гл. iii. структура аффинного пространства над телом

Предложение 5.8. Отображение р: & ->8 является проектированием, если существует ВПП W пространства E и ЛАМ TbSc направляющим подпространством V, дополнительным к W, такие, что для любой точки Me^ ее образ р(М) есть точка пересечения T с ЛАМ, проходящим через af с направлением W (рис. 2).

Аффинные симметрии

> Теорема 5.9. Пусть & — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством E над телом К характеристики Ф 2 *).

> Для того чтобы аффинное отображение /: <$-><% было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией Е.

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если /°/ — Idg и A ^ S9 то образом середины отрезка [А, f(A)] будет середина отрезка U(A), f°f(A)] = U(A), А]; таким образом, эта точка инвариантна при отображении / и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. ?

Предложение 5.10. Отображением: S->S является аффинной симметрией, если существуют ВПП W пространства S и ЛАМ T a S с направлением, дополнительным к W, такие, что для любой точки Мєй' (см. рис. 2)

i) Ms (M) W;

ii) середина [af, 5(af)] принадлежит Т.

Если T сводится к одной точке А, то W = E и s есть центральная симметрия с центром А.

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему W есть ВПП в ? и Ti, T2— два аффинных пространства в S, направляющие кото-

*) Это утверждение теряет силу, если К — тело характеристики 2 (см. упр. III. б).

6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю5

рых соответственно Vu V2 дополнительны к W. Обозначим через рх (соотв. р2) ограничение проектирования S на T2 (соотв. Ti) параллельно W. Тогда, как легко видеть, р2 является аффинной биекцией Т\ на T2, обратная к которой есть рх. Образ M2 = р2{М\)

точки Mi є Ti определяется условиями M2Gf2 и ->

MxM2SElW (см. рис. 3).

> В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того (факта, что установленное

Рис. 3

указанным способом соответствие между Ti и T2 является аффинным.

В частности, если W — векторная гиперплоскость, то справедлива

^ Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки1).

6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ВЕКТОРНОЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ

Пусть снова S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Как мы уже видели, выбор начала в Ж позволяет отождествить S с Е\ теперь мы докажем, что S канонически отожде-

1J У автора: «divisions semblables» («подобные разбиения»).— Прим. перев.

106 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ

ствляется с аффинной гиперплоскостью некоторого векторного пространства F9 изоморфного E X К.

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке А є & отображения fA: M н->Л1Д.

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть E — левое векторное пространство над телом Ky а X — произвольное множество. Тогда множество Xе отображений X в E есть левое векторное пространство над К по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed