Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Последнее утверждение получим, выбирая P в качестве начала в S.
Следствие. Если H— подгруппа в GL(E) (соотв. в GSL(Z;)), то Lrx (H) есть подгруппа в GA(S) (соотв. в GSA(S)); при этом если H — инвариантная подгруппа, то такова же и Lrx (H).
> В частности, если H = Id^, то L-1 (H) есть инвариантная подгруппа в Gk(S)1 образованная трансляциями.
Если Н={±Ые}1 то L~l(H) есть инвариантная подгруппа в GA(S)1 образованная трансляциями и центральными симметриями.
Если H — инвариантная подгруппа группы GSL(Z;), образованная векторными гомотетиями (см. § II. 4), то L~l (H) есть инвариантная подгруппа в GSA(^), называемая группой дилатаций.
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ юз
Пусть f — дилатация, не сводящаяся к трансляции;
тогда L(f)—векторная гомотетия вида uv—>ku, где
k Ф 1. В этом случае / имеет единственную неподвиж-
—>
ную точку /, определяемую из условия (k — 1) AI = ->>
= /(Л)Л,где А— произвольная точка 8. Таким образом, f выражается какМн-»/ + kIM.Такое отображение называется гомотетией с центром I и коэффициентом k.
Сформулируем
> Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии 8 составляют инвариантную подгруппу группы GSA (<?Г), называемую группой дилатаций 8\ Мы обозначаем ее Dil(<T).
По поводу чисто геометрической характеризации этой группы см. упр. III. 8.
Если основное тело К коммутативно, то группа DiI(^) является инвариантной подгруппой группы GA(ff).
Проектирования
Назовем проектированием 8 любое аффинное отображение р пространства 8 в себя, удовлетворяющее условию р о р = р.
Рис. 2
Для такого отображения любая точка Лєр(^Г) является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства 8д. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
104 гл. iii. структура аффинного пространства над телом
Предложение 5.8. Отображение р: & ->8 является проектированием, если существует ВПП W пространства E и ЛАМ TbSc направляющим подпространством V, дополнительным к W, такие, что для любой точки Me^ ее образ р(М) есть точка пересечения T с ЛАМ, проходящим через af с направлением W (рис. 2).
Аффинные симметрии
> Теорема 5.9. Пусть & — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством E над телом К характеристики Ф 2 *).
> Для того чтобы аффинное отображение /: <$-><% было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией Е.
Такое отображение называется аффинной симметрией.
Доказательство. Если /°/ — Idg и A ^ S9 то образом середины отрезка [А, f(A)] будет середина отрезка U(A), f°f(A)] = U(A), А]; таким образом, эта точка инвариантна при отображении / и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. ?
Предложение 5.10. Отображением: S->S является аффинной симметрией, если существуют ВПП W пространства S и ЛАМ T a S с направлением, дополнительным к W, такие, что для любой точки Мєй' (см. рис. 2)
i) Ms (M) W;
ii) середина [af, 5(af)] принадлежит Т.
Если T сводится к одной точке А, то W = E и s есть центральная симметрия с центром А.
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему W есть ВПП в ? и Ti, T2— два аффинных пространства в S, направляющие кото-
*) Это утверждение теряет силу, если К — тело характеристики 2 (см. упр. III. б).
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю5
рых соответственно Vu V2 дополнительны к W. Обозначим через рх (соотв. р2) ограничение проектирования S на T2 (соотв. Ti) параллельно W. Тогда, как легко видеть, р2 является аффинной биекцией Т\ на T2, обратная к которой есть рх. Образ M2 = р2{М\)
точки Mi є Ti определяется условиями M2Gf2 и ->
MxM2SElW (см. рис. 3).
> В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того (факта, что установленное
Рис. 3
указанным способом соответствие между Ti и T2 является аффинным.
В частности, если W — векторная гиперплоскость, то справедлива
^ Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки1).
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ВЕКТОРНОЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть снова S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Как мы уже видели, выбор начала в Ж позволяет отождествить S с Е\ теперь мы докажем, что S канонически отожде-
1J У автора: «divisions semblables» («подобные разбиения»).— Прим. перев.
106 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ствляется с аффинной гиперплоскостью некоторого векторного пространства F9 изоморфного E X К.
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке А є & отображения fA: M н->Л1Д.
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть E — левое векторное пространство над телом Ky а X — произвольное множество. Тогда множество Xе отображений X в E есть левое векторное пространство над К по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры: