Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
т (у) - sup——. Хфв тух)
Показать, что эта величина всегда конечна и удовлетворяет всем аксиомам нормы. Полученная таким образом норма гп*(у) называется двойственной к норме т(х) относительно скалярного произведения (ж, у) в пространстве V.
70.26. Показать, что определение двойственной нормы эквивалентно любому из следующих определений:
Ux у)\
а) тГ(у) = sup \{х,у)\; б) тт(у) = шах—;
т(х)=1 х*е TfI[X)
в) т*(у) = max I(ж, г) т*{у) = max У^;
т{х)=1 хфВ TXl[X)
д) т*(у) = max Re(x,y).
m(x)=l
70.27. Пусть т*(у) - норма, двойственная к норме т(х) в евклидовом (унитарном) пространстве V. Показать, что для
§70. Норма вектора
185
любых двух векторов X и у справедливо неравенство
\(х,у)\ < m(x)m*(y). Показать, что для любого у Є V найдется вектор X0 Є V такой, что
\{х0,у)\ = m(x0)m*{y).
70.28. , Найти двойственную норму для евклидовой нормы вектора.
70.29. В арифметическом пространстве Сп со стандартным скалярным произведением найти двойственную норму: а) к норме Il • H00; б) к норме И • Ці.
70.30. Доказать, что в арифметическом пространстве Сп со стандартным скалярным произведением двойственной к норме Il • ||р, р > 1, является норма || • ||9, где p~l + q~l — 1. Что представляет собой для этой пары норм неравенство из задачи 70.27?
70.31. В арифметическом пространстве Сп со стандартным скалярным произведением найти двойственную норму к норме, определенной равенством
ikii = iifoii,,
где р > 1, а В - некоторый невырожденный оператор, действующий в пространстве Сп.
70.32. В арифметическом пространстве Сп введено скалярное произведение, выражающееся через стандартное скалярное произведение по формуле (ж, у)д = (Ах, у), где Л - заданный положительно определенный оператор. Найти двойственную норму к норме:
а) ||ж||р, р > 1,
б) И ж И = ||?x||p, где р > 1, a?- некоторый невырожденный оператор, действующий в пространстве Сп.
70.33. Известно, что для норм гп(х) и п(х) евклидова (унитарного) пространства V при любом векторе х выполняется неравенство тп(х) > п(х). Показать, что для двойственных норм т*(у) и п*(у) имеет место обратное соотношение: т*(у) < п*(у) для любого вектора у.
70.34. Показать, что норма т**(ж), двойственная к двойственной норме т*(у), совпадает с исходной нормой т(х).
186
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
§71. Линейные операторы в нормированных
пространствах. Нормы операторов и матриц
Пусть VnW- линейные нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные) с нормами || • ||v и || • \\w соответственно. Пространство линейных операторов C(V, W), будучи само вещественным или комплексным линейным пространством, может быть наделено своей нормой.
Норма N(-) в пространстве C(V, W) называется согласованной с векторными нормами У • У v, Il * Il w пространств VnW, если для любого оператора А Є C(V, W)
\\M\w < N(A)\\x\\y, Vx Є V.
Линейный оператор А Є C(V, W) называется непрерывным на векторе хо Є V, если для любой последовательности {х^}, сходящейся к вектору х^ по норме Il • Ilу, последовательность {Ax^} сходится к вектору Ax^ по норме Il • Il W- Линейный оператор А Є C(V, W) называется непрерывным на
множестве М, если он непрерывен на любом векторе х^ Є М. Оператор А Є C(V,W), непрерывный на всех векторах пространства V, называется непрерывным.
Теорема 71.1. Линейный оператор, действующий в конечномерных нормированных пространствах, непрерывен.
Линейный оператор А Є C(V, W) называется ограниченным, если единичную сферу в V он переводит в ограниченное по норме пространства W множество.
Теорема 71.2. В конечномерных нормированных пространствах VuW любой линейный оператор А Є C(V, W) ограничен.
Тем самым, отношение ||^a;||w/||x||v при всех х ф в ограничено сверху, и для любой пары нормированных пространств V и W в C(V, W) можно ввести согласованнз'ю норму. В дальнейшем в пространстве линейных операторов C(V, W) будут рассматриваться только согласованные нормы.
Теорема 71.3. Пусть V1W- конечномерные пространства и А Є C(V, W). Отображение, заданное соотношением
,(A)= sup №,
хфв IfIIv
является нормой в пространстве C(V, W).
Норма /л(А) называется нормой оператора А, подчиненной (порожденной) векторным нормам пространств VnW.
Обозначение: ||Л||. Итак,
PII=SUpJbJ^= sup \\Ax\\w,
1. Подчиненная норма обладает свойством согласованности:
І|Л*||іу < W-NIv, Vx Є V.
2. Подчиненная норма - наименьшая из всех согласованных норм.
3. Подчиненная норма обладает свойством мультипликативности, т.е.
\\т < \\л\\ ¦ \\в\\
для всех операторов Ли В, для которых определено произведение AB.
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!^!
Пусть V1 W - евклидовы (унитарные) пространства. Норма линейного оператора А Є C(V1 W)1 порожденная евклидовыми нормами вектора, называется спектральной нормой. Обозначение: \\А\\2- Итак,
||Д|і2 = sup ||Ле||е = sup \J(Ax1Ax).
||х||?; = 1 (x,x) = 1
Теорема 71.4. Спектральная норма оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора, т.е.
WAh = у/р(А^А), где р(А* А) - спектральный радиус оператора А* А.
