Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
г=1
а форму д к нормальному виду, а второе преобразование, наоборот, форму / приводит к нормальному виду, а форму д к
п
виду Hi^h Найти связь между коэффициентами A1,... ,An и
г=1
/X1, . . . ,/Xn.
69.17. Найти канонический вид квадратичной формы /, к которому она приведется преобразованием, приводящим положительно определенную квадратичную форму д к нормальному виду (не находя самого преобразования), если:
1) / = -4X1X2, д = X1 - 2X1X2 + 4х2;
2) / = х\ + 56х2 + 16X1X2, д = X1 + 26х2 + 1Ox1X2;
3) / = X2 + 2X1X2 + X2, д = 1Ox2 + 6X1X2 + х2;
4) / = 89х2 - 42X1X2 + 5х^, д = 41ж2 _ \%ХіХ2 + 2Х\\ 5)-/ = 7X1X2 + 3Ix?,, д = х\ + 2ххх2 + 2х\\
6) / — 8х2 - 5X1X2 + |х2, д — х\ - X1X2 + \х\\
7) / = 2X4 + X1X2 + X1X3 — 2х2х3 + 2х2х4, д = ^x2 + х\ + х\ + 2х\ + 2х2х4;
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
173
8) / = xl + \х\ - 2x1 + х\ + 2xix2 + 4^1X3, 9 = xi + \х\ + х1 + х\ + 2х2х3.
69.18. Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти преобразование переменных, приводящее эти две формы одновременно к каноническому виду, и записать получающиеся канонические виды обеих форм:
1) / = X1 + 2X1X2 + Зх2, g = AxI + 16X1X2 + 6я2;
2) / = 2x1 ~ ^x1X2 - |х2, g = 2x1 + Ox1X2 + Sx2*;
3) / = HxI ~ 6X1X2 + xl, g = lixl — 1Ox1X2 + 3x1;
4) / — 9x1 — 1Ox1X2 + Зх2, g = 2ххх2 — х2;
5) / = х\ — 2X1X2 + х\, g = 17x1 + 8X1X2 + х^;
6) / = х\ + 2X1X2 + 5x2, g = 2X1X2 - \х\ - х\\
7) / = xl + 2х^ + Зх^ + 2X1X2 - 2X1X3,
g = 2x1 + &xl + Зхз + 8X1X2 + 2X1X2 + 4х2х3;
8) / = —xl — 5x1 — 14х3 + 4X1X2 + Ox1X3 — 8х2х3, g — —xl — 1Ах\ — Ах\ + 8X1X2 — 2ххх3 + 4х2х3;
9) / = 5x1 + 2X1X2 + 4X1X3 + х2 + 4х2х3 + 4х^, g = 5x1 — 2X1X2 + 4X1X3 + X2 + 2х3;
10) / = 15x2 — 4х3 — 1Ox1X2 — 8X1X3 + 22х2х3, g = xl — 2X1X3 + 4x2 + 4х2х3 + 5х3;
11) / = 6x1 + 6X1X3 + X2 — 6х2х3 + 6X3, g = 2x1 + 2X1X3 + X2 - 2X1X3 + 2х3;
12) f = 2x1- 2X1X2 - 2X1X3 + xl + 2xj,
g — 9x1 — 12X1X2 — 24X1X3 + 4x2 + 16х2х3 + 16х3;
13) / = х\ + 3x1 + х3 — X4 - 2X1X2 — 4х2х3 + 2х3х4,
g = xl + 2x1 + 2^3 + 2X4 — 2X1X2 — 2х2х3 — 2х3х4;
14) / = Хі+7х2+16хз + 19х4-4х1х2 + 10х1х3 —1Ox1X4-26х2х3 + 8х2х4 — 2х3х4, g = —X1 + 2X1X2 — 2х2 + 4х2х3 — 5х3 + 6х3х4 — 1Ox^;
15) f = х\— Ax2X3 + Ах\ - 4х3х4 + 4х^,
g = xl — 2X1X2 + 2x2 — 2х2х3 + 2х3 — 2х3х4 + 2х^.
69.19. Пусть А и В - матрицы квадратичных форм / и g от переменных X1,...,хп, причем известно, что форма g положительно определена. Доказать, что:
а) корни А-уравнения \А — ХВ\ = 0 совпадают с собственными значениями симметрической матрицы В~х12 АВ~Х12\
б) если ортогональная матрица U приводит матрицу Б-1/2AB-1I2 к диагональной форме D = diag(Ai,..., An) преобразованием подобия:
174
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
U7'(Б"1/2AB-1^)U = А то замена переменных
(X1 ...хп)т = 5(2/1 ...уп)т, где S = B~lt2U, приводит обе квадратичные формы / и g к каноническим видам:
/ = Aij/2 + ... + AnJ/2, g = j/2 + ... + УІ.
69.20. Пусть А и В - матрицы квадратичных форм / и g от переменных X1,... ,жп, причем известно, что форма g невырождена, а матрица В'1 А диагонализуема и при этом
S-^B-1A)S = D E=CUEg(A1,... ,An), где iS - невырожденная матрица соответствующего преобразования подобия. Доказать, что:
а) если все диагональные элементы Ai,..., An матрицы D различны, то квадратичные формы / и g приводятся к каноническим видам одним преобразованием
(X1... хп)т = S{yx... j/n)T;
б) в случае, когда среди диагональных элементов матрицы D есть равные числа, то существует ортогональная матрица U такая, что преобразование
(Xl...xn)T = SU(Vl...уп)т приводит обе квадратичные формы / и g к каноническим видам.
69.21. Доказать, что если матрицы квадратичных форм / и g перестановочны, то эти квадратичные формы можно одновременно привести к каноническому виду одним невырожденным линейным преобразованием.
69.22. Пользуясь перестановочностью матриц следующих квадратичных форм, найти преобразование переменных, приводящее эти две формы одновременно к каноническим видам, и записать получающиеся канонические виды:
1) / = 6х2 + 6x1 + 6x1 — 1OjEiJE2 — 1OjEiJE3 + 1Ox2X3, g = -х\ + 2jeiJE2 + 2jeije3 - 4je2je3;
2) f = 3je2 + 4jEije2 + 4jEije3 + 2je2je3,
g = 4je2 + je2 + je2 + Ax1X2 + 4JE1JE3 + 2je2je3;
3) / = JE2 + 5JE2 + JE2 + 2x1X2 + OJEiJE3 + 2je2je3,
g = je2 — 2x2 + je2 + 4JE1JE2 - 1OjE1X3 + 4je2je3;
4) / = JE2 + JE2 + JE3 + JE2J + 2JE1JE2 + 4JE1JE3 + 2JE1JE4 + 2jE2JE3 +
4je3je4 + 2je3je4, g = 2x\ + 2x\ + 2x\ + 2x\ — 2x1X2 + 2JE1JE3 — 2X1JE4 -2x2x3 + 2x2x4 — 2x3x4.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
175
69.23. Две квадратичные формы от п переменных называются ортогонально эквивалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобразования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух форм необходимо и достаточно, чтобы характеристические многочлены их матриц совпадали.
69.24. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм ортогонально эквивалентны:
1) / = 9х\ + 9x1 + 12X1X2 - Qx2X3,
g = -Ъу\ + Qy\ + QyI - YIy1V2 + ЮуіУь + 6у22/з, h = llzj - Az2 + \\z\ + UZiZ2 - 2Z1Z3 + Sz2Z3]
