Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
8) X1 + 4х2 + X3 + 4x4 + 4X1X2 4- 2ххх3 4- 4X1X4 4- 4х2х3 + 8х2х4 + 4X1X4.
69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду (к главным осям), и выписать этот канонический вид:
1) 6x1 + 5х2 + 7х3 - 4X1X2 + 4X1X3;
2) Hx1 4- 5х2 + 2х3 + 16X1X2 4- 4X1X3 - 2Ox2X3;
3) х\ 4- х\ 4- 5х3 — Ox1X2 — 2X1X3 4- 2х2х3;
170
Глава XVIL Билинейные и квадратичные формы
4) 17х2 + 14х| + Ых1 - 4^1X2 - 4X1X3 - 8х2х3;
5) х\ — 5х\ + х\ + 4X1X2 + 2X1X3 + 4х2х3;
6) 8X1 — 7х2 + 8x3 + 8X1X2 - 2X1X3 + 8х2х3;
7) 2X1X2 — Ox1X3 — 6х2Х4 + 2х3Х4;
8) Ъх\ + 5x1 + 5x1 + 5х\ - 1Ox1X2 + 2ххх3 + 6ххх4 + 6х2х3 +
2х2Х4 — IOX3X4;
9) 3x1 + 8X1X2 — ЗХ2 + 4х2 - 4х3х4 + х\\
10) X1 + 2X1X2 + х2- 2X3 - 4х3х4 - 2х4;
11) 9x1 + 5хз + 5х2 + 8x4 + 8х2х3 — 4х2х4 + 4х3х4;
12) 4X1 - 4X1X2 + х2 + 5хз - 4x4 + 12х4х5 + х2;
13) 4X1 - 4x2 ~~ 8х2х3 + 2х2 - 5X4 + 6х4х5 + Зх2;
14) 3x1 + 8X1X2 - ЗХ2 + 4хз - 6х3х4 - 4X4 + 4X5 + 4х5х6 + х\\
69.3. Доказать, что невырожденную вещественную квадратичную форму можно привести к нормальному виду ортогональным преобразованием тогда и только тогда, когда ее матрица ортогональна.
69.4. Доказать, что матрица положительно определенной квадратичной формы ортогональна тогда и только тогда, когда эта форма есть сумма квадратов. Как это утверждение формулируется на языке матриц?
69.5. Пусть L - r-мерное линейное подпространство п-мерно-го евклидова пространства V. Обозначим через к(х) квадрат длины ортогональной проекции вектора х на подпространство L. Доказать, что отображение х н-> к(х) задает квадратичную форму в V. Найти канонический вид этой квадратичной формы.
69.6. Найти унитарное преобразование, приводящее следующие эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду (к главным осям), и написать этот канонический вид:
1) 2|хх|2 + ZX1Xj — гх2хГ + 2|х2|2;
2) Ix112 + (3 - 4Z)X1Xj + (3 + 4г)х2хГ + |х212;
3) 3|хі|2 + 3|х2|2 — 5|х3|2 - ZX1X2" — гх2хГ;
4) ^!^ + !хгр + ^зр + х^+Хг^+гх^-гхэ^+гхг^-гхэ^;
5) 12|хх|2 - (1 + Z)X1X2- - (1 - i)x2x{ + 2X1X3- + 2х3хГ + (3 + 3i)x{xl +(3- Зг)х4хГ + 12|х212 + (1 — і)х2Щ +(1 + г)я3я? — 2X2X4- -2x4xJ + 8|х3|2 - (1 + ^x3X4- - (1 - Ox4X3- + 8|х4|2.
69.7. Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все собствен-
п
15) E х1 + E XkXj]
16) ]? XkXj.
Jk=I к <j
k<j
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
171
ные значения ее матрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.
69.8. Доказать, что все собственные значения трехдиаго-нальной матрицы порядка 9 вида
" -2 1 0 . . 0 "
1 -2 1 . . 0
0 1 -2 . . 0
0 0 0' . . 1
отрицательны.
69.9. Доказать, что трехдиагональная матрица порядка 10 вида
' 1 -3 0 0 .. . 0 "
-3 2 1 0 .. 0
A = 0 1 -2 1 .. . 0
0 0 0 0 .. . -2
имеет 9 отрицательных собственных значений, а ее максимальное собственное значение больше единицы.
69.10. Доказать, что собственные значения вещественной симметрической матрицы А лежат на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда квадратичная форма с матрицей A-X0I положительно определена при любом A0 < а и отрицательно определена при любом A0 > Ь.
69.11. Пусть А и В - вещественные симметрические матрицы. Доказать, что если собственные значения матрицы А лежат на отрезке [а, Ь], а собственные значения матрицы В - на отрезке [c,d], то собственные значения матрицы А + В лежат на отрезке [а + с, 6 + d\.
69.12. Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля, и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.
69.13. Пусть / ид - пара квадратичных форм от одних и тех же переменных, причем форма д невырождена. Доказать, что при любом преобразовании координат, приводящем обе формы к каноническому виду
/ = A1J/? + ... + An?/2, д = /XiJZ12 + • • • + ИпУІ,
172
Глава XVIL Билинейные и квадратичные формы
совокупность отношений —одна и та же, причем эти
Hi Hn
отношения являются корнями Л-уравнения \А — \В\ = 0, где А и В - матрицы форм / и g соответственно.
69.14. Пусть дана пара квадратичных форм / ид от одних и тех же переменных, причем форма д положительно определена. Доказать, что канонический вид
/ = Ai2Z12 + ... + Апу2, получаемый для формы / при любом линейном преобразовании, приводящем форму д к нормальному виду, определяется однозначно с точностью до порядка слагаемых, причем его коэффициенты A1,..., An являются корнями А-уравнения \А — ХВ\ = О, где А и В - матрицы форм / и д соответственно.
69.15. Выяснить, можно ли следующие пары квадратичных форм привести к каноническому виду одним вещественным невырожденным линейным преобразованием:
1) / = х\ + Ax1X2 - х2, д = X1 + Ox1X2 + 5x1;
2) / = х\ + X1X2 — х2, д — х\ — 2X1X2.
69.16. Пусть даны две положительно определенные квадратичные формы / и 5, и пусть одно невырожденное линейное
п
преобразование переменных приводит форму / к виду ^ А;?/2,
