Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
68.9. Найти все значения параметра А, при которых положительно определены следующие квадратичные формы:
1) Ах* -Ax1X2 + (А + 3)х*;
2) 5X1 + X2 + Ax3 + 4X1X2 — 2X1X3 — 2х2х3;
3) \х\ + 8х2 + Хз + 16X1X2 + 4X1X3 + 4х2х3;
4) 2х\ + х2 + Зх3 + 2Ax1X2 + 2X1X3;
5) х\ + х2 + 5хз + 2Ax1X2 — 2X1X3 + 4х2х3;
6) xl + Ах\ + xl + 2Ax1X2 + 1Ox1X3 + 6х2х3;
7) 2х\ + 2х\ + х3 + 2Ax1X2 + 6ххх3 + 2х2х3;
8) X1 + 4х2 — Ax3 + 2AxxX2 + 2X1X3 + 2х2х3;
9) (4 - А)х* + (4 - A)X2* - (2 + А)х^ + 4X1X2 - 8X1X3 + 8х2х3.
68.10. Пусть в квадратичной форме /(х1?..., Xn) коэффициент ап > 0. Выяснить, каков будет результат следующей
156
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
замены переменных:
{anxi + ... + UinXn)
Vk = xk, k = 2, п.
68.11. Доказать, что положительно определенную квадратичную форму можно привести к нормальному виду треугольным преобразованием переменных (см. задачу 67.7).
68.12. Привести к нормальному виду треугольным преобразованием переменных следующие квадратичные формы:
1) х\ + 2х\ + Зх3 + 2X1X2 + 2X1X3 + 4х2х3;
2) х\ + 2х^ + 2х^ + 2X1X3 + 2х2х3;
3) х\ + Ах\ + Hx3 + 24x4 - 2X1X3 - 4X1X4 + 4х2х3 + 16х3х4.
68.13. Доказать, что квадратичная форма А(х,х) является положительно определенной тогда и только тогда, когда ее матрица Ае хотя бы в одном базисе е представляется в виде A6 = STS, где S - верхняя треугольная невырожденная матрица. Такое разложение матрицы Ае называется ее треугольным разложением.
68.14. Показать, что диагональные элементы матрицы S в треугольном разложении матрицы А и главные миноры матрицы А связаны соотношениями:
68.15. Доказать, что треугольное разложение положительно определенной матрицы А единственно, если дополнительно потребовать, чтобы диагональные элементы матрицы S были положительны.
68.16. Показать, что элементы skj матрицы S в треугольном разложении положительно определенной матрицы А = (а^) Є Enxn могут быть вычислены по формулам:
4k = Ajfc/Afc-i, к = 1,п,
A0 = 1.
Va11, S1J = —, j = 2,п,
fc-i
к > 1
skj
skk(akj - E spkspj), j > к.
p=i
§68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 157
68.17. Используя формулы предыдущей задачи, найти треугольные разложения следующих матриц:
і)
4 2 2 5 -2 1
-2 1 3
;2)
9-3 0 -3 5 -4 0-4 5
" і 2 3 4 "
;3) 2 5 8 11
3 8 14 20
- 4 11 20 30
68.18. Доказать, что для того, чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВТВ, где В -вещественная невырожденная матрица, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны.
68.19. Доказать, что для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВТВ, где В - вещественная квадратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были неотрицательны. Кроме того, если rg А = г, то и TgB = г, и можно считать, что первые г строк матрицы В линейно независимы, а остальные -нулевые.
68.20. Доказать, что ранг билинейной формы равен единице тогда и только тогда, когда она является произведением двух ненулевых линейных форм.
68.21. Доказать, что для представимости вещественной квадратичной формы в виде произведения двух вещественных линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ранг этой квадратичной формы не превосходил единицы, либо ранг был равен двум, а сигнатура равна нулю.
68.22. Пусть для ненулевой билинейной формы А в вещественном пространстве V существует такое число а, что для любых ж, у Є V выполнено равенство:
А(х,у) = аА{у,х). Доказать, что а = 1 или а — —1.
68.23. Пусть А - билинейная форма в вещественном пространстве V и всякий раз, когда выполнено равенство А(х, у) = О, имеет место и равенство А(у,х) — 0. Доказать, что форма А либо симметрична, либо кососимметрична, т.е. для любых х,у Є V выполнено равенство А(х,у) = — Д(у, ж).
68.24. Доказать, что если произведение двух линейных форм, заданных в вещественном линейном пространстве V1 тождественно равно нулю, т.е. 1\{х)12(х) = 0 для любого х Є V, то хотя бы одна из этих форм тождественно равна нулю.
158
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
68.25. Доказать, что если симметричная билинейная форма *4(x,jz), заданная в вещественном линейном пространстве V, распадается в произведение двух линейных форм: A(X1Jj) = h(x)l2(y), то она представима в виде Л(х^у) = А/(х)/(у), где Л -число, отличное от нуля, а 1(х) - некоторая линейная форма.
68.26. Выяснить, при каком необходимом и достаточном условии квадратичные формы f(x) и —f(x) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду.
68.27. Доказать, что если неотрицательная квадратичная форма обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе вещественных значений переменных, то эта форма вырожденна.
68.28. Пусть f(x) - квадратичная форма в вещественном линейном пространстве V. Вектор X0 Є V называется изотропным, если /(х0) = 0. Доказать, что если квадратичная форма f(x) знакопеременна, то в пространстве V существует базис, состоящий из изотропных векторов.
68.29. Показать, что:
1) если *4(х, у) - билинейная форма в комплексном пространстве У, то форма В(х,у) = А(х,у) является полуторалинейной;
