Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
отметить, что при таком преобразовании квадратичная форма g в новых переменных будет снова иметь нормальный вид. Действительно,
B2 = QlB1Q2 = QlIQ2 = QlQ2 = I в силу ортогональности матрицы Q2.
Найдем собственные значения матрицы Ai: \Ai - AJ| =
-1-А О 6
О
-1-А -3
6
-3 -5-А
прибавим к 1-й строке удвоенную 2-ю строку
-1-А -2-2А О О -1-А -3 6 -3 -5-А
(-1-А)
2 О
-1-А -3 -15 -5-А
= (-1- A)(A + 1O)(A -4).
Итак, числа Ai = 4, X2 = — 1, Аз = —10 образуют спектр матрицы А\. Все собственные значения просты, поэтому каждому из них отвечает ровно один линейно независимый собственный вектор. Для Ai = 4 - это вектор /i = (6, —3,5)т, для X2 = -1 - это вектор f2 = (1,2,0)т, для Аз = —10 - это
вектор /з = (-2,1,3)т.
После нормирования получим ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А\\
е, = -J=(6,-3,5)r, п = ^=(1,2,0)1', е,
Отсюда следует, что новые переменные zi,z2,z3 должны быть введены по формулам
* У1 " Zi ¦ " Zi ' Уі
у2 = Q2 Z2 или Z2 = Ql у2
L уз j . Z3 . . Z3 . l уз J
где матрица Q2 имеет вид
Q2 =
6 1 2
у/70 3 Vb 2 Vu 1
у/70 5 Vb 0 Vu 3
VTi
Итак, QlAQi = Ai, QlAiQ2 = Л, где Л = diag(4,-1,-10). Следовательно, (QіQ2)тA(QiQ2) = Л и искомое преобразование координат определяется матрицей
Q = QiQ2 =
г 32 3 22 -і t 32 3 VfQ Vb 22 ,
Vfo Vb VTi Xl = —7=23 VTi
18 2 8 18 2 8
Vfo Vb VTi , т.е. і X2 = --T=^i H---=Z2 — >/7U л/5 —7=23
5 0 3 5 , 3
- Vfo Vu - X3 = —7=2i H--7=2з-Vfo s/їі
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
165
Квадратичные формы / и g относительно переменных z\, z2, z$ будут иметь следующий вид
z\ - IOZ3, ^ = Zi + *2 + Z3.
Пример 69.5. Показать, что квадратичные формы / = х\ — 15х2 4- 4X1X2 — 2хіхз 4- бжгжз,
: я? 4- Hx2 4- Зжз +4XiZ2
2х\хз — 14х2хз
приводятся к каноническим видам одним преобразованием координат. Найти:
а) эти канонические виды;
б) соответствующее преобразование координат. Решение. Квадратичные формы / ир имеют матрицы
A =
1 2 -1
2 -15 3 -13 0
и B =
2 -1 17 -7 -7 3
Квадратичная форма / не является положительно определенной, так как в матрице А угловой минор A2 < 0. Угловые миноры матрицы В положительны (Ai = 1, A2 = 13, A3 = 1) и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма g положительно определена. Следовательно, применим алгоритм, описанный в примере 69.4, и существует преобразование координат, приводящее форму g к нормальному виду g = у\ 4- у\ 4- yh а форму / -к каноническому виду / = Aiу? 4- A2 у2 4- А3у2.
а) Канонические коэффициенты Ai,A2, Аз квадратичной формы / являются корнями А-уравнения пары форм / и g (см. пример 69.3):
1-А 2-2А -14-А 2-2А -15- 17А 3 + 7А -14-А 3 + 7А -ЗА
= (А-1)
-1 -2 1
2-2А -15- 17А 3 + 7А -14-А 3 + 7А -ЗА
= (A-I)
-10 0
2-2А -19-13А 5+ 5A -14-А 5+ 5A -1-2А
= (A-I)(A2+ A-6) = 0.
Следовательно, Ai = 1, A2 = 2, Аз = — Зи каноническим видом квадратичной формы / будет форма
/ = у2 + 2у22-3у32. (69.1)
б) Для того, чтобы найти преобразование координат, приводящее форму g к нормальному виду, а форму / - к каноническому виду (69.1), применим метод Лагранжа к квадратичной форме д:
д = (X1 4- 2х2 — хз)2 4- 13х2 4- 2х\ — 1Ox2X3 = = (xi 4- 2х2 - X3)2 4- (2х2 - X3)2 4- (Зх2 - X3)2.
Преобразование координат (легко проверить его невырожденность)
Г Z1 = < Z2 = I Z3 =
Zi = Xi 4- 2х2 — хз, 2х2 — хз, Зх2 — хз
{Xl = Zi — Z2, X2 = -z2 4- Z3, хз = —Zz2 4- 2z3
приводит квадратичную форму д к нормальному виду: Z1 4- Z2 4- Z3.
166
Глава XVIL Билинейные и квадратичные формы
В новых координатах 21,22,23 квадратичная форма / имеет вид
/ = (zi - Z2)2 - 15(-Z2 + Z3)2 + 4(zi - z2)(-z2 + 23)-
-2(21 - Z2)(Sz2 + 2z3) + 6(-22 + 23К-з22 + 223) = z\ + 2z\ - 3*2,
т.е. требуемый канонический вид. Поэтому у\ =21, у2 искомое преобразование задается равенствами
( Xi = у\ - у2,
< X2 = -у2 + уз,
L ж3 = -Зу2 + 2у3. ¦
22, t/3 = 23 И
Пример 69.6. Найти преобразование, приводящее каждую из квадратичных форм
/ = х\ + X3 + ^XiX2 + 4х\х3 + 2ж2ж3,
9я? + 2^2 + 2жз ¦
12х\х2 — 12жіжз + 2х2х3
к каноническому виду, и выписать соответствующие канонические виды этих форм.
Решение. Матрицы квадратичных форм / и g равны соответственно
Г 0 2 2 1 Г 9 -6 -6 I
A = 2 1 1 и Б = -6 2 1
2 1 1 -6 1 2
Отметим, что как следует из критерия Сильвестра, ни одна из этих квадратичных форм не является знакоопределенной. Действительно, в матрице А угловой минор Ai = 0, а в матрице В угловые миноры Ai = 9, А2 = -18. Поэтому алгоритм, предложенный в предыдущей задаче, не применим.
Воспользуемся тем, что матрицы A vi В перестановочны:
AB = BA--
-24 6 6
6 6 -9 -9 -9 -9
Согласно результату задачи 62.49 существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, общих для матриц А и В. Найдем сначала собственные значения матриц A vi В. Для матрицы А имеем:
|Л-Л/| =
-А 2 2 2 1 - А 1 2 1 1-А
-А 2 2 2 1-А 1 OA-A
