Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
2) если #(х, у) - полуторалинейная форма в комплексном пространстве V, то форма А(х,у) = В(х,у) является билинейной.
68.30. Составить матрицы следующих полуторалинейных форм, действующих в n-мерном комплексном пространстве V:
1) -ЇЖіуГ (га = 1); 2) -гхіуГ (n = 2);
3) ЗххуГ + 4ZX1Jz2- - 5х2ї/Г + ІХ2У2 (га = 2);
4) -ЗгххуГ + 2X1JZ2" + 2х2уГ + (1 ~ г)х2Ш (га = 2);
5) (1 + Ox1Jz2- + (1 + і)х2уї - 5X2JZ2- (га = 2);
6) (1 + Ox1Jz2- + (1 - і)х2уї - 5X2JZ2- (га = 2);
7) ЯіУІ - 3X2JZ2- +(2 + і)х3уї - гххуї +(4 + г)х3уГ (n = 3);
8) 2X1JzT - 6X2Jz2" + 3x3j/J + 3X1Jz2- + Зх2уГ +(2- 5г)яіУз+ (2 + 5г)х3уГ + Аіх2уз ~ 4Zx3Jz2- (n = 3);
п
9) E хкУк\ 10) E xkTj-
к=1 кфі
68.31. Какие полуторалинейные формы из предыдущей задачи эрмитовы? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы.
68.32. Восстановить эрмитову полуторалинейную форму w4(x,jz) по эрмитовой квадратичной форме /(х) = Л(х,х).
68.33. Доказать, что в пространстве Спхп функция /(х) =
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
159
tr(XHX) задает положительно определенную эрмитову квадратичную форму.
68.34. Доказать, что в линейном пространстве Епхп выражение tr(AXTX) задает положительно определенную квадратичную форму тогда и только тогда, когда матрица А положительно определена.
68.35. Доказать, что в пространстве многочленов Mn с ком-
6 _
плексными коэффициентами выражение /(/, g) = / f(t)g(t)p(t)dt,
a
в котором непрерывная функция p(t) положительна на (а, 6), задает эрмитову полуторалинейную форму.
§69. Квадратичные формы в евклидовом и унитарном пространствах
Теорема 69.1. Длл любой квадратичной формы (эрмитовой квадратичной формы) А(х,х) в евклидовом (унитарном) пространстве V существует, и притом единственный, самосопряженный оператор У. Є C(V1V) такой, что
А(х,х) = (Нх,х), Vx Є V.
Теорема 69.2. Для любой квадратичной формы (эрмитовой квадратичной формы) в евклидовом (унитарном) пространстве V существует ортонор мир о ванный базис, в котором она имеет канонический вид.
Операция построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется приведением квадратичной формы к главным осям.
Канонический базис квадратичной формы А(х,х) совпадает с ортонор-мированным базисом из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора %, а канонические коэффициенты - с отвечающими им собственными значениями. Собственные значения оператора % являются корнями уравнения \Ае — AJ| = 0, которые, вообще говоря, уже не зависят от эператора % и инвариантно связаны только с самой квадратичной формой.
Таким образом, при приведении квадратичной формы к главным осям канонические коэффициенты определены однозначно. Это позволяет находить канонический вид квадратичной формы, минуя вычисление канонического базиса.
Что же касается канонического базиса, то он определен с той же степенью произвола, с какой определена полная ортонормированная система из собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема 69.3 (о паре квадратичных форм). Для любой пары квадратичных форм (эрмитовых квадратичных форм) А(х,х) и В(х,х) б вещественном (комплексном) пространстве V, одна из которых положительно определена, существует базис, в котором обе квадратичные Фоюмы имеют канонический вид.
160
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Пример 69.1. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма
/ = X1Xj+!
ортогональным преобразованием, не находя самого преобразования. Решение. Решим задачу для удвоенной квадратичной формы
п-1
2/ = ^2,2X1Xi+I. t=i
Матрица этой квадратичной формы имеет трех диагональный вид:
A =
0 1 0
1 0 1 0 1 0
ООО ООО
0 0 0 0 0 0
0 1
1 0
Известно, что при ортогональном преобразовании координат канонические коэффициенты определены однозначно и совпадают с собственными значениями матрицы А. Для вычисления собственных значений А необходимо найти корни следующего уравнения
-А 1 0 ... 0 0
1 -Л 1 ... 0 0
— 0 1 -Л ... 0 0 = 0.
0 0 0 ... -Л 1
0 0 0 ... 1 -Л
Воспользуемся методом рекуррентных соотношений (§7)
определителя трехдиагональной матрицы
a + ? a? 0 0 0
1 а + ? a? 0 0
Dn = 0 1 a + ? 0 0
0 0 0 ... a + ? a?
0 0 0 1 a + ?
при a + ? = —А, щ 6 = 1:
¦?
•n+l
a — p
Из равенства Dn = 0 следует, что (aj?)n+l = 1 или
a 2nk . . 2nk f -— — = cos-- -f г sin-, k = l.n
? П+1 71+ Г
(k ф 0, так как a ф ?). Отсюда с учетом соотношения a? = 1 получаем
, / кк . . пк ч / пк . . пк ч -—
a = ±(cos-- + tsm--), ? = ±(cos-- — г sin--), к = l.n.
v n + l n + ly' H v n+l n + ly
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
161
Знаки ± для а и ? надо брать одинаковыми, так как a? = 1. Следовательно, Л = — (а + ?) = ±2 cos ^Tj-, A; = 1,п. Все эти числа являются корнями характеристического многочлена, но среди них есть совпадающие:
- cos ^Tj- = cos ^n*n+^n • Поэтому все различные числа содержатся в систе-
