Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
2) f = 7х\ + х\ + х\ — Sx1X2 — Sx1X3 — IQx2X3, g = 2у\ -у\-у\- 42/12/2 + Ауху3 + 8у2у3,
Л = z\ - zj + 2^2Z1Z3.
69.25. Доказать, что любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить в виде А = QR, где Q - ортогональная матрица ий - верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали, и такое представление единственно.
69.26. Доказать, что:
а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить как в виде A = Q1B1, так и в виде А = B2Q2, где матрицы Q1 и Q2 ортогональны, а матрицы B1 и B2 - симметрические, с положительными угловыми минорами. Каждое из этих представлений единственно;
б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А = Q1B1, так и в виде А = B2Q2, где матрицы Q1 и Q2 унитарны, а матрицы B1 и B2 эрмитовы, с положительными угловыми минорами. Каждое из этих представлений единственно;
в) пусть А - симметрическая (или эрмитова) матрица с положительными угловыми минорами и В - ортогональная (соответственно унитарная) матрица. Доказать, что:
1) произведения AB и BA тогда и только тогда будут симметрическими (эрмитовыми) матрицами с положительными угловыми минорами, когда В - единичная матрица;
2) произведения AB и BA тогда и только тогда будут ортогональны (унитарны), когда А - единичная матрица.
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
§70. Норма вектора
Пусть V - линейное пространство, вещественное или комплексное. Нормой в линейном пространстве V называется отображение || • || : V —> щ ставящее в соответствие каждому вектору х Є V число Є Ш и удовлетворяющее аксиомам: Vx, у Є V1 а Є ЩС)
1) IkII > О? причем jIгег11 = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)'IMl = M-IMl ;
3) ||ж + у||<||а;|| + ||у|| (неравенство треугольника).
Линейное пространство V с заданной на нем нормой || • || называется линейным нормированным пространством. Число ||ж|| называется нормой вектора х.
Пример 70.1. В евклидовом (унитарном) пространстве норма может быть введена как длина, т.е. ||ж|| = \х\. Эта норма называется евклидовой нормой и обозначается символом \\х\\е. Итак,
\\х\\Е = \Дх~х). Справедливость аксиом нормы вытекает из свойств длины.
Пример 70.2. В арифметических пространствах Мп, Сп обычно рассматривают следующие нормы вектора х = (х\,..., хп):
IkIIi = E l**h IkIb = E M2 ; lklloo = max \Xk\, k=i \k=i J
первые две из которых можно записать единообразно в виде
/n X Vp IWIp= (Ek* Г J •
Отметим, что норма ||-||2 совпадает с евклидовой нормой \\-\\е для стандартного скалярного произведения, поэтому справедливость аксиом нормы для II • Il2 вытекает из свойств длины. Для норм [І-Ці и Il • Ilоо справедливость аксиом I и 2 очевидна. Аксиома 3 вытекает из неравенства \xk + У*| < \ХЛ 4-\ук\, справедливого для любой пары чисел Xk1 у*, вещественных или комплексных: если X = (жі,...,ж„) и у = (!/1,...,Уп), то
Ik + vlli = E I** + Ук\ < E (k*l + 1у*1) = E 1**1 + E Iv*I = IkIb + NIu
*=1 к = 1 к = 1 к=1
Ik + Vlloo = max \хк+ун\< max (\хк\ 4- |у*|) < max |а*|+ max \ук\ =
l<fc<n l<fc<n l<fc<n l<fc<n
= IW|oo + ||y||oo.
§70. Норма вектора
177
Пример 70.3. Аналогичные нормы рассматриваются в произвольном конечномерном линейном пространстве V (вещественном или комплексном): если ei,... ,еп - базис V и х = ^Ук=і ж*е*» то
IHIp= У^1Х*1Р1 ' где р = 1,2, ||ж||оо = max |xfc|.
Такие нормы называются соответственно нормами || • Ці, || • Ц2 и || • ||оо относительно базиса ei,... ,еп. Справедливость аксиом нормы проверяется так же, как и в предыдущем примере.
Пример 70.4. В пространствах матриц mmxn и cmxn рассматривают следующие нормы матрицы А — (а^):
m п
= max ? |а*,ї; \\А\\оо = max |а*,|;
1<J<" /b = 1 l<fc<m J = 1
PIk= (? ЕКіі2)1/2 = Мя>і)]1/2.
Справедливость аксиом нормы проверяется так же, как и в примере 70.2.
Теорема 70.1. В нормированном пространстве V отображение р : V X V —> м, определенное равенством
р{х,у) = ||ж-у||, Vx,у Є V,
является метрикой.
Последовательность векторов {х^} в нормированном пространстве V называется сходящейся по норме к вектору а Є V, если
lim - а|| = 0.
fc—>oo
Вектор а при этом называется пределом последовательности {х^} по нор-ме Il • ||.
Обозначение: Hm х^ = а или х^ —> а.
k—too
Теорема 70.2. Сходящаяся по норме последовательность имеет единственный предел.
Пусть хо Є V и г > 0. Множество S(xo,r) = {ж Є V | \\х — хо\\ = г} называется сферой радиуса г с центром хо по норме || • ||, а множество В(хо,г) = {х Є V \ \\х — хо\\ < г} - замкнутым шаром радиуса г с центром хо по норме Il • ||.
Пример 70.5. Ниже на рис. 1 точками плоскости изображены сферы радиуса единица с центром хо = (0,0) по нормам || • Ці, || • Ц2, || • ||оо в арифметическом пространстве Ш2.
Множество M в нормированном пространстве V называется ограниченным, если существует число с > 0 такое, что ||ж|| < с для всех векторов X Є М. Множество M называется компактным, если из любой последовательности векторов, лежащей в М, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по норме к вектору а Є M.
