Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
= -А
-А 4 2 2 2-А 1 0 0 1
= -А(А + 2)(А-4).
Итак, спектр матрицы А составляют числа Ai = 0, А2 = —2, A3 = 4. Для матрицы В имеем:
IB-AiJI =
= (1-/х)
9 -ц -6 -6 -6 2-/і 1 -6 1 2-/і
9-/і -12 -6 -6 3-/Х 1 0 0 1
9 -ц -6 -6 -6 2 -ix 1 0 -1 + /Х 1-/Х
(1 -Ix)(IX + 3)(//-15).
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
167
Итак, спектр матрицы В составляют числа \i\ — 1, /х2 = —3, /хз = 15.
Для построения ортонормированного базиса из собственных векторов, общих для матриц А и Б, воспользуемся тем, что каждое собственное подпространство матрицы А инвариантно относительно матрицы В (задача 59.43) и что в нем содержится собственный вектор матрицы В (задача 59.21).
Так как все собственные значения матриц А и В простые, то все отвечающие им собственные подпространства одномерны. Поэтому каждый ненулевой вектор из собственного подпространства матрицы А является собственным вектором матрицы В.
Собственному значению Ai=O матрицы А отвечает собственный вектор 1 т
ei = —(0,1,-1) , собственному значению A2 = -2 - собственный вектор v2 1 t
є2 = --=(0,1,1) , а собственному значению A3 = 4 - собственный вектор v2
1 т
ез = —7=(1,1,1) • Эти же векторы являются собственными векторами и для v3
матрицы В. Остается проверить, что собственному вектору ei отвечает собственное значение /ii = 1, собственному вектору е2 - собственное значение
/13 = 15, И Собственному вектору Єз - Собственное Значение /І2 = —3.
Таким образом, если
Q =
0 0-7= у/3
J_ J_
у/2 у/2 у/З _ J_ J_ _l_
у/2 у/2 уД
то замена переменных
" X\ '
= Q У2 <==> X2 =
. хз . l уз j
X1 = -^уз,
V2
Уі +
S3 = -^1 +
1
= У2 +
1
Уз
преобразует квадратичные формы к каноническим видам
/ = -2у|+4у|, g = yi + lbyl - Зу|. -
Пример 69.7. Найти преобразование, приводящее каждую из квадратичных форм
/ = 2х\ H- х\ H- х\ — 2х2хз,
g = \3х\ H- X2 H- Хз — 16жіж2 H- Ібхіхз — 8х2хз
к каноническому виду, и выписать соответствующие канонические виды этих форм.
Решение. Матрицы квадратичных форм / ир равны соответственно
A =
Г 2 0 0 0 1 -1 0 -1 1
В =
13 -8 8
168
Глава XVIL Билинейные и квадратичные формы
Как и в предыдущей задаче, ни одна из этих квадратичных форм не является знакоопределенной (в матрице А: A3 = 0, в матрице В: A2 < 0), однако матрицы А и В перестановочны:
AB = BA =
26 -16 -16 5 16 -5
16 -5 5
поэтому построим ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, общих для матриц А п В. Найдем спектр матрицы А:
\A-\I\ =
и спектр матрицы В:
2-Л 0 0 0 1-А -1 0 -1 1-А
(-А)(2 - А)2 = 0 :
A1 =0, A2 = A3 = 2
\В - /л1\ =
13 -ц -8 8
-8 1-/х -4
8
-4 1-/х
13 -ц -8 0
-8 1-/х —3 — 11
8
-4 -3-/х
(-3-/x)
13 -ix -8 0
-16 8 5 -її -4 0 1
= (-3-/i)2(21-/i) = 0:
Ці = Ix2 = -3, /із = 21.
Для построения ортонормированного базиса из собственных векторов, общих для матриц А и Б, поступим так же, как и в примере 69.6: общие собственные векторы будем искать в собственных подпространствах этих матриц.
Для матрицы А:
- собственному значению Ai = 0 отвечает один линейно независимый собственный вектор /i = (0,1,1)т;
- собственному значению X2 = X3 = 2 отвечает двумерное собственное подпространство L = {{ai,a2,a3)T \ a2 4- аз = 0}.
Для матрицы В:
- собственному значению ці = ц2 = —3 отвечает двумерное собственное подпространство M = {(с*і, а2, а3)т \ 2аі — а2 4- аз = 0};
- собственному значению ц3 = 21 отвечает один линейно независимый собственный вектор #з = (2, —1,1)т.
Так как д3 Є L1 то в качестве одного из собственных векторов матрицы А, отвечающих собственному значению X2 = X3 = 2, можно выбрать вектор f3 = д3. Аналогично, так как /i G М, то в качестве одного из собственных векторов матрицы B1 отвечающих собственному значению //i = ц2 = —3, можно взять вектор gi = fi.
Третий собственный вектор J2 = д2, общий для матриц А и B1 должен принадлежать обоим подпространствам L и M1 и поэтому
U ~ 92 = (аі,а2,а3) Є LfI M
2ai - а2 -f a3 = 0, Ot2 + аз = 0.
Отсюда J2= д2 = (1,-1,1)т.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
169
После нормировки получим искомый ортонормированный базис из общих собственных векторов:
е, = 4=(0,1,1)Т, е2 = -4(1, -1,1)Т, ез = -4(2,-1,1)г.
Таким образом, если
ч/Г
Q
о
j_
J_ L v/2
1 2 -і
n/З
1 1
ч/З n/6
1 1
n/3 y/E J
то замена переменных
" Xl ' ' У1 '
X2 = Q У2 <==> X2 =
L Уз J
_2_ v/6
хз = T2Vl + ТъУ2 + 7ІУЗ
преобразует квадратичные формы к каноническим видам / = 2у22 + 2у|, у =-Зу2 - Зу22 + 21у|. .
ЗАДАЧИ
69.1. Найти канонический вид, к которому приводятся следующие квадратичные формы посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования:
1) Зх2 + 3x1 + Ax1X2 + Ax1X3 — 2х2х3;
2) 1х\ + 7x1 + 7xj 4- 2x1X2 4- 2x1X3 4- 2х2х3;
3) х\ — 2х1х2 — 2х1х3 — 2х2х3\ 4) Зх\ + 3х\ — х\ — 6ххх3 4-4х2х3;
5) —Зх\ 4- Ax1X2 + 1Ox1X3 — Ax2X3)
6) —х\ + х\ — 5х3 4- 6^1X3 + 4х2х3; 7) 2X1X4 4- 6х2х3;
