Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
а) р(х) = тах(т(ж), п(х))]
б) q(x) = am(x) 4- /Зп(ж), где а и ? - фиксированные неотрицательные числа, не равные одновременно нулю;
в) т(х) = (т2(х) + п2(х)у/2.
70.6. Пусть Л - линейный невырожденный оператор линейного нормированного пространства V с нормой ||ж||. Доказать, что нормой пространства V является и величина
т(х) = \\Ах\\.
70.7. Линейное пространство V является прямой суммой подпространств L1 и L2. При этом на L1 введена норма т(ж), на L2 - норма п(х). Пусть х - произвольный вектор из V, причем
182
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
X = X1 + х2, где X1 Є L1, X2 Є L2. Положим
||х|| = 7Ti(X1) + п(х2). Показать, что это соотношение вводит норму на V.
70.8. Доказать, что если H Є Cnxn - эрмитова положительно определенная матрица, то норма тп(х) в пространстве Сп может быть задана равенством:
m{x) = {X1Hx)1'2, VxGC71, относительно стандартного скалярного произведения в Сп.
70.9. Доказать, что если || • || - норма в пространстве V, то для любых х, у Є V выполнено неравенство
\\х -у\\ > \\\х\\ - \\у\\\.
70.10. Доказать, что для евклидовой нормы || • \\Е в евклидовом пространстве V выполнено равенство параллелограмма
\х + у\\е + Ik
У\\%
2«+ ІІУ III), Vx,yGK (70.3)
70.11. Доказать, что верно и обратное: если норма || ¦ || в линейном вещественном пространстве V удовлетворяет равенству параллелограмма (70.3), то в V можно ввести скалярное произведение так, чтобы эта норма была евклидовой относительно этого скалярного произведения.
70.12. Доказать, что в любом нормированном пространстве V выполнено соотношение
2(1И2 + ІІ2/Ц2) < ||» + У\\2 + II» - у||2 < 4(||х||2 + IMI2).
70.13. 1. Доказать, что норма || • ||р в пространстве V относительно заданного базиса е1,..., еп удовлетворяет неравенству Кларксона: для любых х, у Є V
X + у 2 р + р х-у 2
X + у 2 я + р X-у 2
р I1 , I11
— су W^Wp ¦ су WUWp
<
я/р
при р > 2, при 1 < р < 2
(здесь р"1 + q~l = 1).
2. Пользуясь неравенством Кларксона, показать, что в пространстве V с нормой ||-||р(1<р<оо) относительно любого заданного базиса из условия, что различные векторы х,
§70. Норма вектора
183
у принадлежат единичной сфере: ||ж||р = I, \\у\\р = I, следует, что для любого а Є (0,1) выполнено строгое неравенство \\ax + (1 - a)y\\p < 1.
70.14. Нормированное линейное пространство V называется строго нормированным, если в неравенстве треугольника Ik+ 2/11 < \\х\\ + IMI знак равенства достигается только в случае, когда векторы х и у линейно зависимы. Доказать, что:
а) евклидово пространство V с евклидовой нормой \\-\\е строго нормировано;
б) пространство V с нормой || • ||р при 1 < р < оо строго нормировано;
в) пространство V с нормой || • Ці или с нормой || • H00 не является строго нормированным.
70.15. Доказать, что если х^ —> х^°\ —> у(°\ то:
а) \\х^\\ -> ||х(°)||;
б) \\х^ — а\\ -ї \\х^ — а\\ для любого вектора а;
в) ах^ + ?yW —> аж(0) + ?y^ для любых чисел а и ?\
г) если последовательность чисел Хк сходится к числу A0, то Afca:W -> А0х(0).
70.16. Доказать, что если всякая нетривиальная1 подпоследовательность последовательности {х^} сходится, то сходится и сама последовательность {х^}.
70.17. Доказать, что из всякой ограниченной последовательности векторов нормированного пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
70.18. Доказать, что сходимость последовательности {х^} к вектору по норме равносильна покоординатной сходимости этой последовательности относительно любого базиса.
70.19. Пусть в пространстве V задан базис ех,..., еп и относительно него введены нормы И • ||р, 1 < р < оо. Доказать, что если 1 < pi < р2 < оо и p~l = арї1 + (1 — Oi)p2l, О < а < 1, то выполнено неравенство
IkIIp < ЫаР1 ¦ \\х\\?°.
70.20. Для каждой пары из трех норм: || • ||ь || • ||2, || • H00 найти наилучшие возможные константы С\ и C2 в определении эквивалентности норм.
1IIoA тривиальной подразумевается подпоследовательность, совпадающая с исходной последовательностью, начиная с некоторого члена.
184
Глава XVIIL Линейные нормированные пространства
70.21. В арифметическом пространстве Сп наряду с нормой ||ж||2 рассматривается норма m(x) = \\Ах\\2, где А - невырожденная матрица n-го порядка. Как вычислить для этой пары норм наилучшие возможные константы C1 и C2 в определении эквивалентности норм?
70.22. Доказать, что отображение р : V х V —> Е, определенное правилом
р{х,у) = \\x-y\l (70.4)
задает метрику в линейном нормированном пространстве V. Число р(х, у) называется расстоянием между х и у по норме в пространстве V.
70.23. Показать, что метрика р(х, у), «веденная в предыдущей задаче, обладает следующими свойствами:
а) р(х + z,y + z) = р(х, у) Vx, у, z Є V]
б) р(ах,ау) = \a\p(x,y) Vx, у Є V, Va Є IR(C).
70.24. Доказать, что если метрика р(х,у) в линейном пространстве V обладает свойствами "а)" и "б)" предыдущей задачи, то она порождается некоторой нормой по формуле (70.4), и эта норма единственна.
70.25. Пусть т(х) - норма в евклидовом (унитарном) пространстве V. Для любого у Є V положим
