Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Пример 68.3. Найти нормальный вид квадратичной формы / = х\ 4- х\ 4- За;2 4- 4жіЖ2 4- 2х\х$ 4- 2х2#з-
Решение. Матрица квадратичной формы / имеет вид А =
¦12 1-1 2 11, .1 1 3J
ее угловые миноры равны Ai = 1, Дг = —3, A3 = —7. Согласно формулам Якоби за канонический вид формы / можно взять форму
У\ - Зуг + ^Уз
Ai A2 Аз 7
с каноническими коэффициентами —— = 1, — = — 3, -г— = -.
1 Ді Аг З
Последняя форма после преобразования координат
zi = yi, Z2 = уДу2, Z3 = у/уЗуз примет нормальный вид
zl — z\ + z\' ¦
Пример 68.4. Показать, что квадратичная форма
п п — 1
/ = ]Г(п + 2 - J)X2J + 2 ]Г XjXj+1 j=i j=i
положительно определена.
Решение. Для проверки положительной определенности квадратичной формы / составим ее матрицу и воспользуемся критерием Сильвестра.
§68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 153
Имеем
71 + 1 1 О
1 п 1 О In-I
ООО ООО ООО
4 1 О 1 3 1 О 1 2
Критерий Сильвестра удобнее применить не к матрице А, а к матрице Лі, получаемой из А перестановкой сначала строк, а затем столбцов в обратном порядке:
2 1 О 1 3 1 О 1 4
ООО ООО ООО
п - 1 1 1 п О 1
О 1
п + 1
Матрица Ai соответствует квадратичной форме, получаемой из / перенумерацией переменных Xi,...,xn в обратном порядке. Поэтому (в силу критерия Сильвестра) квадратичная форма / положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры , k = 1,п, матрицы А\ положительны.
Составим рекуррентное соотношение для A^:
Ajk = kAk-i - Д*_2, к>3, и перепишем его в более удобном виде:
Ак - Ak-i = (к- 2)Afc_i + (Ak-i - Ак-2).
(68.2)
С помощью (68.2) и метода математической индукции докажем, что
Ак > Ak-i > 0.
Действительно, Ai = 0 и А2 = 5 > Аь Пусть А* > А*_і > 0, к > 2. Тогда из (68.2) следует, что
Afc+i = Ak + (к - 1)Ак + (Ak - Ak-i) > Ак.
Таким образом, А* > 0 для всех к = 1, п, и следовательно, квадратичная форма / положительно определена. ¦
Пример 68.5. Для полуторалинейной формы
/ = 2жіуГ + іхґуї - гх2уї + 2х2у2 выписать соответствующую ей эрмитову квадратичную форму и привести эту форму к каноническому виду. Найти приводящее к этому виду преобразование координат.
Решение. Матрица формы / имеет вид A= ? _^ 2 ] • 1*ак как
Ан = А, то эта полуторалинейная форма эрмитова и, следовательно, она порождает эрмитову квадратичную форму д. Матрица эрмитовой формы д совпадает с матрицей А, поэтому
д = 2\xi\2 + ixix~2 — IX2Xi + 2|ж2|2. Для приведения к каноническому виду применим метод Лагранжа (в комплексном случае - это метод выделения квадратов модулей). Заметим
154
Глава XVIL Билинейные и квадратичные формы
предварительно, что для комплексных чисел а и Ь:
\a + Ь\2 = (а + b)(a + b) = aa + ab + ab + bb.
Имеем:
0 = 21 жіжі +жі
Таким образом, каноническим видом квадратичной формы g будет фор-9 = 2\yi? + hy2\2,
2
где yi = Xi — -Ж2, t/2 = Х2. Формулы преобразования координат имеют вид г
Xl = yi + -у2, X2 = у2. ¦
ЗАДАЧИ
68.1. Применяя сигнатурное правило Якоби, найти нормальный вид, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру следующих квадратичных форм:
1) X1 + X2 + Ъх\ + 4X1X2 + 2X1X3 + 2х2х3;
2) х\ — 2x1 + х\ + 2X1X2 + 4X1X3 + 2х2х3;
3) 2X1 + 5х2 + 2х\ — Ax1X2 — 2X1X3 + Ax2X3]
4) —3x1 + AXiX2 — AXiX3 + 10ж2х3;
5) х\ + 2х3 + 4X1X2 + 6X1X3;
6) X1 + х\ + х\ + х\ + 4X1(X2 + X3 + х4).
68.2. Пользуясь сигнатурным правилом Якоби, найти индексы инерции следующих квадратичных форм:
п—1 п п—1
1) х\ + Z) XkXk+1] 2) E^-E EjfeZfc+i;
fc=l Jk=I к=1
3) -| E х\ + E **** 4) Ё х| + 4 E
fe=l fe<j fc=l k<j
n
5) a xl + 26 где a > 6 > 0 - произвольные числа.
fe=l k<j
68.3. Пусть главный минор Д*., fc < п, матрицы квадратичной формы от п переменных равен нулю, но миноры Д^-і и Ajt+1 отличны от нуля. Доказать, что в этом случае Д^_іД^+1 < 0.
68.4. Пусть в последовательности Д0 = 1, Ді,.. •, Дп главных миноров матрицы квадратичной формы от п переменных
§68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 155
определитель Дп ф О, но при некотором k < п минор Ак = О, однако ^ 0. В каждом таком случае нулевому мино-
ру Ак в рассматриваемой последовательности припишем произвольный знак. Показать, что модифицированное таким образом сигнатурное правило Якоби сохраняет силу.
68.5. Применяя модифицированное правило Якоби из предыдущей задачи, найти нормальный вид, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру следующих квадратичных форм:
1) -Зх2 + Ax1X2 + 1Ox1X3 - 4х2х3;
2) X1X2 + х2х3 + X3X4;
3) X1X2 + 2X1X3 + 3X1X4 + х2х3 + 2х2х4 + х3х4;
4) X1X2 4- X1X3 + х2х3 + х2х4 + х3х4 + х3х5 + х4х5;
5) х\ + X2 + X3 + X4 + 2X1X4 + 2х2х3 + 2х3х4.
68.6. Показать, что ранг и сигнатура квадратичной формы имеют одинаковую четность.
68.7. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах переменных положительны. Является ли это условие достаточным для положительной определенности квадратичной формы?
68.8. Доказать, что для того, чтобы квадратичная форма Л(х, х) была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны. Является ли условие неотрицательности только угловых миноров достаточным для неотрицательной определенности квадратичной формы?
