Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
66.37. Доказать, что каковы бы ни были квадратные матрицы А и В порядка п, сингулярные числа матриц AB и ВнАн всегда одинаковы. Верно ли это утверждение для пары матриц AB и BAl
66.38. Строки матрицы А ортогональны. Доказать, что сингулярные числа матрицы А равны длинам ее строк как векторов соответствующего арифметического пространства.
66.39. Найти сингулярные числа m х n-матрицы А, имеющей ранг 1.
66.40. Пусть сингулярные числа /O1,..., рп оператора *4, действующего в n-мерном пространстве V', занумерованы в порядке невозрастания. Доказать, что справедлив следующий вариант
В
136 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
теоремы Куранта-Фишера:
рк = max min , рк = min max
11. cl/-л. aaaaaa , дуд. - alalax 111са/л ,
Lfc хеЬк,хфО \х\ Ln^k + 1 xeLn-k + ux^0 \х\
где, как и в задаче 64.55, в первом равенстве максимум берется по всем fc-мерным подпространствам Ьк пространства V, а во втором равенстве минимум берется по всевозможным подпространствам Ln_fc+1 размерности п — к + 1. В частности, верны соотношения:
1*4x1 . 1*4x1
Pi = max ——, pn = min
гфО \х\ ' |ж|
66.41. Доказать, что в условиях предыдущей задачи минимальное и максимальное по модулю собственные значения An и A1 оператора А удовлетворяют неравенствам:
|An|>pn, IA1I^p1.
66.42. Пусть операторы А и В действуют в n-мерном пространстве V и оск, ?k, 7ь & — I?n) ~ занумерованные в порядке невозрастания сингулярные числа операторов А, В и А + В соответственно. Доказать, что выполнены неравенства:
-<*i + ?k < ъ < <*\ + ?k, Offc - ?i < jk < <*к + ?u k =
66.43. Пусть операторы А и В действуют в n-мерном пространстве V и Оік, ?k, ok, к = l,n, - занумерованные в порядке невозрастания сингулярные числа операторов А, В и *4? соответственно. Доказать, что выполнены неравенства:
OLn?k < Sk < oti?k, otk?n <Sk < ak?u к = ї~гї.
66.44. Доказать, что для суммы сингулярных чисел pi,..., рп матрицы Л G Спхп справедливы представления:
pi + ... + pn = max I tr(AW)\ = max Re tr(AW),
где максимум берется по всем унитарным матрицам W порядка п.
Полярное разложение
66.45. Во что переходит полярное разложение матрицы порядка п при п — 1?
§66. Разложения линейных операторов и матриц
137
66.46. Показать, что в полярном разложении A = HU оператора А неотрицательно определенный оператор H определен единственным образом.
66.47. Пусть Л = HU - произвольное полярное разложение оператора А. Показать, что оператор U переводит ортонормированный базис из собственных векторов оператора Л* А в подобный же базис оператора AA*.
66.48. Доказать, что для вещественной матрицы существует вещественное полярное разложение.
66.49. Показать, что, каково бы ни было полярное разложение А = HU оператора А, унитарный оператор U переводит подпространство im А* в подпространство im А, подпространство кет А в подпространство кет А*.
66.50. Найти полярное разложение отрицательно определенного оператора.
66.51. Найти полярное разложение оператора дифференцирования в пространстве многочленов Mn со стандартным скалярным произведением.
Найти полярные разложения следующих матриц.
66.52.
66.55.
66.57.
66.59.
66.53.
14 -2 26 7
15 3 -4 ' 5 9 -12 0 8 6
10 -3 -4 -5 6 8 0-4 3
1 5 1 1 5 1
3 9-3
66.56.
66.58.
3 8 4
66.54.
-4 0 6 -5 3 -10
23 -14 14 -2
66.60.
0 3
0 4 -5t 0
1 1 1 1 3 -1
-1 -1
-1 2 0
1 1 3 -1
66.61. Найти полярное разложение диагональной матрицы А = diag(zi,z2, • • •)2„), где zk, к = 1,п, - заданные комплексные числа.
66.62. Показать, что произвольную матрицу А Є Cnxn можно представить в виде А — VB, где V Є Cnxn - унитарная матрица, а матрица В Є <Cnxn неотрицательно определена.
66.63. Доказать, что в разложениях квадратной матрицы А:
138 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
А = HiU и А = VHi1 в которых матрицы Hi и H2 неотрицательно определены, а матрицы UnV унитарны, матрицы Hi и H2 совпадают тогда и только тогда, когда А - нормальная матрица.
66.64. Пользуясь полярным разложением, показать, что для любой квадратной матрицы А матрицы ААН и АнА всегда унитарно подобны.
66.65. Используя полярное разложение, доказать утверждение, обратное утверждению задачи 65.59: если квадратная матрица А порядка п имеет простую структуру и ее собственные значения суть действительные числа, то А можно представить в виде А = HS1 где H - эрмитова матрица, а матрица S положительно определена. Для действительной матрицы А сомножители H и S также можно выбрать действительными.
Глава XVII. Билинейные и квадратичные
формы
§67. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве
Пусть V - линейное пространство над полем P1. Отображение Л : V X V —> P называется билинейной формой в пространстве V, если для любых х, у, z Є V, а Є Р:
1) Л(х + у,z) = А(х, z) + А(у, z);
2) А(ах,у) = аА(х,у);
3) А(ж,y + z) = А(х,у) + а);
4) Д(ж,ау) = аД(ж,у).
Билинейная форма называется симметричной, если А(у,х) = А(х,у), Vx, у Є V.
Скалярное произведение (х, у) в евклидовом пространстве является симметричной билинейной формой.
