Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 47

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 87 >> Следующая

Afc=Afc/Afc-i, & = T~F, (67.5)
где Ak - угловые миноры k-го порядка матрицы А, т.е. Ak = М|'""'?,
к — \,п, и Ao = 1.
Соотношения (67.5) называются формулами Якоби.
Пример 67.1. Квадратичная форма А(х,х) в некотором базисе еі,є2 имеет вид
А{х,х) = 4жі 4- 6x1X2 + 7^2, Vx = я1є1 + ж2є2. Написать матрицу квадратичной формы А(х, х) в этом базисе.
Решение. Пусть A = (aij) - матрица квадратичной формы А(х,х) в базисе еі,ег. Из (67.3) следует, что если х = х\е\ 4- я2є2, то
= «»][:;; Z] [Z]
или
А(х,х) = ацх\ 4- а\2Х\Х2 4- о,\2Х2Х\ 4- а22х\ = о.\\х\ 4- 2а\2Х\Х2 4- о>22х\.
142
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Следовательно,
"-и ?]
A =
Пример 67.2. Восстановить билинейную форму /(хі,х2,2/і,у2), п0" лярную к квадратичной форме
g{x\,X2) = х\ + 6xix2 4- 9х2.
Решение. Квадратичная форма </(хі,х2) имеет матрицу
13 1. 3 9 J'
которая совпадает с матрицей полярной к ней билинейной формы. Согласно (67.1)
/(жі,ж2,2/1,2/2) = жіуі +Зжі2/2 + 3x22/1 +9x22/2. ¦
Пример 67.3. Привести квадратичную форму
f = 2x1 + ^XiX2 + 4хіхз + 9x2 + 19хз к канонической форме и построить невырожденное преобразование координат, осуществляющее такое приведение.
Решение. Опишем два способа, позволяющие привести квадратичную форму к каноническому виду.
Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) состоит в последовательном выделении полных квадратов сначала в группе слагаемых, содержащих Xi, затем содержащих х2 и т.д. Имеем
/ = (2x1 + 8xix2 + 4xix3) + 9хз + 19х3 = 2(хх + 2х2 + х3)2 - SxI - 2х\-
-8х2х3 + 9х22 + 19xi = 2(xi + 2х2 + X3)2 + (х\ = 2(xi + 2х2 + х3)2 + (х2 - 4х3)2 -+ (X2 - 4х3)2 + х\ = 2у\ + у\ + у|,
16x1 + 17x1
8x2x3)+17х3 = = 2(xi + 2X2 +X3)2 +
где 2/i=xi+ 2х2 + х3, 2/2 = X2 - 4х3, у3 = х3.
Если Q - матрица перехода к новому базису, то хе = Qyе. Поэтому
Q-1
1 2 1 О 1 -4 О 0 1
и Q =
1 -2 -1 О 1 4 О 0 1
Следовательно, формулы преобразования координат имеют вид
( Xi = 2/1 - 2у2 - 2/3, < х2 = 2/2+4у3, I X3 = уз-
Заметим, что стандартный метод Лагранжа соответствует треугольному преобразованию координат (см. ниже пример 67.4).
Метод элементарных преобразований. Заметим, что если Q - матрица элементарных преобразований (§3), то преобразование (67.2) матрицы А квадратичной формы равносильно двум преобразованиям - элементарному преобразованию столбцов матрицы А, определяемому матрицей Q, и такому же преобразованию строк матрицы А. Матрицы элементарных преобразований невырождены. Следовательно, их произведение - тоже невырожденная матрица. Поэтому матрица, получающаяся в результате умножения матриц
§67. Формы в линейном пространстве
143
элементарных преобразований, проводимых над столбцами и строками матрицы А квадратичной формы, является матрицей перехода к новому базису. Соответственно, квадратичная форма в результате этих преобразований может быть приведена к каноническому виду.
Отметим также, что матрицы элементарных преобразований столбцов второго типа являются диагональными матрицами, а если элементарное преобразование заключается в прибавлении к столбцу другого столбца с меньшим номером, то соответствующая матрица является верхней треугольной. Если можно обойтись только такими элементарными преобразованиями, то матрица Q перехода к новому базису, будучи произведением верхних треугольных матриц, также получится верхней треугольной.
Итак, построим последовательность элементарных преобразований столбцов и таких же преобразований строк, которые приводят матрицу А к диагональному виду. Имеем:
A =
2 4 2 4 9 0 2 0 19
причем угловые миноры равны соответственно: Ai =2, A2 =
2 4 4 9
= 2,
A3 = |А| = 2.
1. Вычитая из 2-го столбца удвоенный 1-й столбец, а затем вычитая из 2-й строки удвоенную 1-ю строку, получим
Ai = Li ALi =
2 1 -4 19
где Li =
1 -2 0 0 1 0 0 0 1
Отметим, что в результате такого преобразования главные миноры матри-
2 0
цы Ai остались теми же: Ai =2, А2 ~~
0 1
= 2, A3 = |Ai
2.
2. Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки 1-ю строку, получим
А2 = Lo AiLi =
Г 2 0 0 1 0 -4
0 -4 17
где L2 =
1 0 0 1 0 0
-1 Л 0 1
2 0 0 1
= 2,
Главные миноры опять остаются без изменения: Ai = 2, A2 = А3 = |А2| = 2.
3. Наконец, прибавив к 3-му столбцу 2-й столбец, умноженный на 4, а затем прибавив к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 4, получим
A3 = L3 A2L3
Г 2 0 0 0 1 0 0 0 1
где L3 =
10 0 1 0 1 4 0 0 1
Матрица A3 - диагональная, т.е. квадратичная форма / приведена к каноническому виду
f = 1г\ + г\ + г\. (67.6)
В результате последнего преобразования главные миноры опять не изменились, и теперь в матрице A3:
144
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Иными словами, канонические коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
о _ Л 1 - Аз 1 - Аз 2-A1,
т.е. по формулам Якоби (67.5).
Чтобы найти преобразование координат, отметим, что
A3 = LiLiLiALiL2L3 = (Li L2 L3)T A(LiL2L3), так что матрица Q перехода к новому базису имеет вид
Q = LiL2L3 =
1 -2 -9 О 1 4 О 0 1
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed