Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 46

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 87 >> Следующая

Теорема 67.1. Пусть V - линейное пространство над полем P - базис V. Для любых чисел aij Є Р, i,j = 1,п, существует, и притом единственная, билинейная форма А(х,у) в пространстве V, для которой A(ei,ej) = aij, i,j = 1,п, при этом
п
Л{х,у) = ачх*Уіі (67Л)
»•,J=I
для всех векторов х = ^Уі=і хіві 4 у — 2Г=і ^іЄ**
Представление билинейной формы в виде (67.1) называется общим видом билинейной формы в базисе е. Матрица Ае = (а^) Є PnXn, элементы которой определены равенством a%j = A(ei,6j), i,j = 1,п, называется матрицей билинейной формы А(х,у) в базисе е.
Общий вид (67.1) билинейной формы А(х,у) может быть записан в компактной форме: если хе и уе - координатные столбцы векторов ж и у в базисе е, то
А(х,у) = х'еАеУе, А(х,у) = у7 А7хе.
Выражение, стоящее в правой части (67.1), также называется билинейной формой от переменных Х\, ...,Xn и t/i,..., уп.
Теорема 67.2. Произвольная матрица А = (а^) Є РпХп является матрицей единственной билинейной формы в заданном базисе пространства.
В этой главе предполагается, что характеристика основного поля равна нулю.
140
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Теорема 67.3. Матрицы билинейной формы А(х,у) в базисах е и f = eQ связаны соотношением А/ = QTAeQ. Следствие. TgAe =TgAf.
Теорема 67.4. Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична.
Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в любом базисе. Билинейная форма А(х,у) называется вырожденной, если TgA(x,y) < dim V, и невырожденной, если TgA(x,y) = dimV.
Теорема 67.5. Билинейная форма А(х,у) вырождена тогда и только тогда, когда существует вектор х ф в такой, что
А(х,у) = 0, Vy Є V.
Пусть А(х,у) - симметричная билинейная форма в пространстве V над полем Р. Квадратичной формой называется отображение А : V —> Р, которое каждому вектору х Є V ставит в соответствие число А(х,х). Обозначение: А(х,х) или А(х). Билинейная форма A(X1 у) при этом называется полярной билинейной формой к квадратичной форме А(х,х).
Теорема 67.6. Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.
Матрицей квадратичной формы А(х,х) в базисе е называется матрица полярной к ней билинейной формы А(х, у) в этом базисе.
Две квадратные матрицы Ли В порядка п называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица Q такая, что В = QTAQ.
Из свойств билинейной формы вытекают следующие свойства квадратичных форм.
1°. Матрица квадратичной формы симметрична.
2°. Любая симметрическая матрица является матрицей единственной квадратичной формы в заданном базисе.
3°. Матрицы квадратичной формы в базисах ей/ = eQ связаны соотношением
Af = QT AeQ, (67.2)
иными словами, две матрицы квадратичной формы А(х,х) в различных базисах конгруэнтны.
4°. В базисе е квадратичная форма А(х,х) с матрицей Ае = (aij) может быть записана в следующем виде: Vx = Г= і ж»е*
п
А(х,х) = ^ aijXiXj, aij = aji, (67.3)
ij = l
или, в компактной форме,
А(х,х) = х^Аехе, Aj = Ае. (67.4)
Представление квадратичной формы в виде (67.3) или (67.4) называется общим видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е. Выражение }{х\,... ,Xn) = Х)Г>=1 aijXiXj, где aij = aji называется квадратичной
формой от переменных х\,... ,хп.
5°. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Очевидно, TgA(x,x) = TgA(x,y). Квадратичная форма
§67. Формы в линейном пространстве
141
Л(х,х) называется вырожденной, если rg А(х, х) < dim V, и невырожденной, если rg А(х, х) = dim V.
Базис е — (ei,...,en) называется каноническим базисом квадратичной формы А(х, х), если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональ-на: Ае = diag(Ai,... ,An).
В каноническом базисе квадратичная форма А(х, х) согласно (67.3) имеет вид А(х,х) = AiXj 4- ••• 4- An^n, который называется каноническим видом квадратичной формы, при этом числа Ai,..., An называются ее каноническими коэффициентами. Канонический вид называют также суммой квадратов. Очевидно, что число ненулевых квадратов совпадает с рангом А(х,х). Итак, если е - канонический базис иг = rg А{х,х), то
А(х,х) = Ai^i 4-...4- KxI, Vz = Х)Г=і ХіЄі'
Если ei,...,en - канонический базис квадратичной формы А(х,х), то полярная к ней билинейная форма в этом базисе имеет вид
п п
А(х,у) = Аіхі?/і 4- А2Я22/2 4-...4- ХпХпУп, х = ]Г) яієі, у = У«е«»
1=1 1=1
называемый каноническим видом билинейной формы.
Теорема 67.7. Для любой квадратичной формы существует канонический базис, или в другой формулировке, любая квадратичная форма g(xi,..., Xn) от переменных х\,..., Xn невырожденным преобразованием координат приводится к сумме квадратов.
Две квадратичные формы / и g от п переменных называются эквивалентными, если одна из них приводится к другой невырожденным преобразованием координат. Очевидно, канонический вид квадратичной формы / - это эквивалентная с / форма, не содержащая произведений различных переменных XiXj, і ф j.
Теорема 67.8. Если в матрице квадратичной формы А(х, х) ранга г первые г угловых миноров отличны от нуля: Ak Ф 0, k = 1,г, то существует базис е, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид Ае = diag(Ai,..., Аг, 0,..., 0), где
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed