Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 50

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 87 >> Следующая

Обозначим символами P(Ao, Ai,..., А*) и V(Ao, Ai,..., А*) число совпадений и перемен знаков в последовательности вещественных чисел Ao, Ai, ...,Ак.
Теорема 68.2 (сигнатурное правило Якоби). Пусть Ao = 1, и Ak - угловой минор k-го порядка матрицы квадратичной формы А(х,х) ранга т и Ak Ф 0, k = 1, г. Тогда
tt = P(A0, Ai,..., Дг), и = V(A0, Ai,..., Аг).
Квадратичная форма А(х,х) называется положительно (отрицательно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х,х) < 0), Ф в. Такие формы называют знакоопределенными (или знакопостоянными).
Квадратичная форма А(х,х) называется неотрицательно (неположительно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х,х) < 0), Vz. Такие формы называют полу определенными.
Квадратичная форма, для которой существуют векторы х и у такие, что А(х,х) > 0, А(у,у) < 0, называются знакопеременными.
Пример 68.1. Примером положительно определенной квадратичной формы в вещественном пространстве может служить скалярный квадрат в евклидовом пространстве, т.е. отображение А : E —> Ш, определенное равенством А(х) = (х,х), Є Е.
Теорема 68.3. Квадратичная форма А(х,х) положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда ее положительный (соответственно отрицательный) индекс инерции совпадает с размерностью пространства.
Следствие. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен.
Теорема 68.4 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма А(х,х) положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда угловые миноры Ak, k = 1,п, ее матрицы в произвольном базисе положительны (соответственно чередуют знаки, начиная с отрицательного):
Ak > 0, k = Т~й (A*Afc_i < 0, к = Ї7п, A0 = 1).
Теорема 68.5. Пусть V - вещественное линейное пространство. Отображение А : V х V —> Ш является скалярным произведением в пространстве V тогда и только тогда, когда оно есть билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме.
§68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 151
Матрица билинейной формы, задающей скалярное произведение, совпадает с матрицей Грама базисных векторов: Ае = G(e\,..., e/t).
В комплексном пространстве полным аналогом вещественных квадратичных форм являются так называемые эрмитовы квадратичные формы.
Пусть теперь V - комплексное линейное пространство. Отображение А : V X V —)• С называется полу тор алинейной формой, если для любых х, у, z Є V, а Є С:
1) А(х + у, г) = А(х, z) + А(у, z);
2) А(ах,у) = aA(x,y);
3) A(x,y + z) = A(x,y) + A(x,z);
4) A(x,ay) = aA(x,y).
Полуторалинейную форму называют эрмитовой, если
А(у,х) = А(х,у), Уж, у Є V.
Пример 68.2. Скалярное произведение (х,у) в унитарном пространстве является эрмитовой полуторалинейной формой.
Для полуторалинейных форм остаются в силе все утверждения, касающиеся билинейных форм. В частности:
- общий вид полуторалинейной формы А(х,у) в базисе е задается равенством: Vx = Е*=і ХкЄк> У = Е"=1 yjeJ
п
А(х,у) = akjXkyJ, (68.1)
ktj=l
где ukj = A(ek,ej), или, в компактной форме,
А(х,у) = xTeAeYe = у" Al Xe)
- если е и / = eQ - два базиса пространства, то А/ = QTAeQ;
- полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе эрмитова.
Теорема 68.6. Полуторалинейная форма эрмитова тогда и толь ко тогда, когда А(х,х) Є М, Vx Є V.
Пусть А(х, у) - эрмитова полуторалинейная форма в комплексном пространстве V. Эрмитовой квадратичной формой (или, короче, эрмитовой формой) называется отображение А : V —> С, которое каждому вектору х Є V ставит в соответствие число А(х,х). Полуторалинейная форма А(х,у) при этом называется полярной полуторалинейной формой к эрмитовой форме А(х,х).
Эрмитова квадратичная форма обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями) обычных квадратичных форм. В частности:
1) существует взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми полуторалинейными и эрмитовыми квадратичными формами пространства;
2) матрица эрмитовой квадратичной формы в любом базисе эрмитова;
3) общий вид эрмитовой квадратичной формы: Vz = Ea=i ж*е*
п _
А(х,х) = E a>kjXkXj, akj = oJ/Г (Vfc,j = l,n),
к J = I
или, в компактной форме,
А.(х, х) = хе AeXe = хе Ае Xe, Ае = Ae)
152
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
4) канонический вид эрмитовой квадратичной формы задается равенством:
г п
А(х,х) = E А*|жа:|2, Vx = E xk?k, к=\ к=\
где г = TgA(x,x), Xk Є M (к = 1,г);
5) метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для эрмитовой формы;
6) остаются справедливыми формулы Якоби;
7) эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения;
8) для эрмитовых квадратичных форм справедливы закон инерции, сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра;
9) отображение А : V х V —> С есть скалярное произведение в комплексном пространстве V тогда и только тогда, когда оно является полуторали-нейной формой, полярной к положительно определенной эрмитовой форме.
Канонический вид квадратичной формы (эрмитовой формы), в котором все ненулевые канонические коэффициенты равны 1 или —1, называется нормальным видом.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed