Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 48

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая

а старые координаты связаны с новыми, соответственно, по формулам Xi = Zi — 2z2 — 9z3, X2 = Z2 Л- 4z3, X3 = z3. ¦
Пример 67.4. Привести квадратичную форму / = XiX2 H- XiX3 H- х2х3 к каноническому виду и найти приводящее к нему преобразование координат.
Решение. Матрица квадратичной формы / имеет вид
A =
О 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 О
Ее угловой минор Ai = 0, поэтому здесь не применимы ни стандартный метод Лагранжа, ни метод элементарных преобразований в том виде, в котором он был использован в предыдущей задаче.
Модифицируем сначала метод Лагранжа.
Перейдем к новым координатам
яі =2/1 +2/2, Ж2 = 2/1-2/2, X3 = уз, тогда квадратичная форма / перейдет в квадратичную форму
9 = 2/1 - 2/2 + 2уіуз = {выделим полный квадрат} = (yi H- у3)2 - у\ - у3. В координатах
zi = yi H- уз, Z2 = у2, Z3 = уз квадратичная форма / будет иметь канонический вид
2 2 2 Zi —Z2-Z3.
Он соответствует преобразованию координат
Xi = Zi — Z2 — Z3, X2 = Zi H- Z2 — Z3, X3 = Z3,
которое уже не будет треугольным.
Покажем теперь, какие изменения нужно внести в метод элементарных преобразований.
Отметим, что аннулировать все внедиагональные элементы матрицы А квадратичной формы элементарными преобразованиями столбцов и такими же преобразованиями строк не удастся, так как главная диагональ матрицы А нулевая. Поэтому сначала выполним предварительное преобразование.
§67. Формы в линейном пространстве
145
Прибавим к 1-му столбцу 2-й, а затем прибавим к 1-й строке 2-ю строку. Имеем:
Ai = LjALi
1 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 О
где
Li =
1 О О 1 1 О О 0 1
Теперь уже Ai = 1 ф 0 и можно преобразованиями, аналогичными проведенным в предыдущей задаче, обнулить внедиагональные элементы 1-го столбца и 1-й строки матрицы Ai.
Вычитая из 2-го столбца 1-й столбец, умноженный на 1/2, а затем вычитая из 2-й строки 1-ю строку, умноженную на 1/2, получим
A2 = L2 AiL2 =
1 0 1
0 -1/4 О
1 О О
где L2 =
1 -1/2 О О 1 О
О 0 1
Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки 1-ю строку, получим
A3 = L3 A2L3
1 О О
О -1/4 О О 0-1
где L3
Г 1 0 0 1 0 0
Матрица A3 - диагональная, следовательно, квадратичная форма / приведена к каноническому виду
2 1 2 2 Zi — -Z2 — Z3.
Матрица Q перехода является произведением матриц используемых элементарных преобразований:
Q = LiL2L3
1 -1/2 -1 1 1/2 -1 0 0 1
Соответствующее преобразование координат осуществляется по формулам
1
Xi = Zi — -Z2
• Z3,
1
X2 = Zi + -Z2
Z3, X3 = Z3.
Отметим также, что это преобразование, как и в модифицированном методе Лагранжа, не будет треугольным. ¦
Пример 67.5. Привести квадратичную форму / = Ах\ — YIiXiX2 — 10x1 к каноническому виду и найти приводящее к нему преобразование коорди-
Решение. Применим метод Лагранжа:
/ = (2жі - Згж2)2 + 9х2 - 10^2 = (2ал - Згж2)2 -х\=у\- у\, где у і = 2xi — 3ix2, у2 = х2. Таким образом, каноническим видом будет форма yj — у\, а формулы преобразования координат имеют вид
1 Зі
Xl = -yi + уу2, X2 = у2. ш
146
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Пример 67.6. Найти канонический вид квадратичной формы / = х\ — 2x1 4- х\ 4- 2жіж2 4- kx\x3 + 2ж2ж3.
Решение. Матрица квадратичной формы равна А
1 12 1
1 -2 1
2 1 1
ее угловые миноры равны соответственно: Ai = 1, А2 = —3, A3 = 8.
Согласно формулам Якоби каноническими коэффициентами квадратичной формы являются числа
Ai Аг Аз 8
A1 = —= 1, A2 = —= -3, A3 = -^ = --,
так что каноническим видом квадратичной формы будет форма
2 о 2 8 2
Уі-Зу2- дУз- ¦
ЗАДАЧИ
67.1. Составить матрицы данных билинейных форм в п-мерном линейном пространстве:
1) X1JfI (п = 1); 2) X1Jj1 (n = 2); 3) X^2-X2V1 (n = 2);
4) 2^1J/! - XiJZ2 - X2Jj1 - Ъх2у2 (n = 2);
5) хху2 4- 2х2у3 4- Зжзух (n = 3);
6) хху2 - Зжіуз 4- 7ж2у3 4- х2ух - Ъх3ух + 7х3у2 4- х3у3 (п = 3);
п п п
7) E^y*; 8) E {і-з)хіуу, 9) Е^гУп+і-г;
г=1 г, j=l і—1
10) E ^j/?; и) E ^ti/j-
|»-ІІ<1 *-і<2
67.2. Для симметричных билинейных форм из предыдущей задачи записать соответствующие им квадратичные формы.
67.3. По данной квадратичной форме А(х,х) в п-мерном пространстве восстановить полярную к ней билинейную форму А{х,у):
1) -3x1 (п = 1); 2) -1Sx1X2 + 9x1 (п = 2);
3) X1 + ^x1X2 4- 4^1X3 4- 5x1 + YIx2X3 4- lx\ (n = 3);
71-1
4) 2х\ - Gx1X2 - ix] (n = 3); 5) E хіхі+\-
г=1
67.4. Выписать общий вид квадратичной формы, имеющей в некотором базисе матрицу:
і)
-4 5 5 -4
" 4 2 4 ' " 0 2 1 "
;2) 2 -3 0 ;3) 2 8 2
4 0 4 1 2 0
§67. Формы в линейном пространстве
147
2 -1 О О '
4) -1 2 О -1 -1 2 -1 о
О -1 О 2
5) А = (<*«)Є Rnxn, где atj =
J1, K-Jl = I,
I О, Ii-Jl ^ 1.
67.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичной) формы, если изменить базис ei,..., еп следующим образом:
1) поменять местами г-й и j-й векторы базиса;
2) умножить г-й базисный вектор на число а ф 0;
3) вектор е{ заменить на et + aej (j ф г);
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed