Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Следствие . Спектральная норма нормального оператора равна абсолютному значению максимального по модулю собственного значения этого оператора.
Теорема 71.5. Сингулярные числа линейного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве не изменяются при умножении оператора на ортогональный (унитарный) оператор.
Следствие. Спектральная норма линейного оператора не изменяется при умножении оператора на ортогональный (унитарный) оператор.
Пусть е = (е\,..., е„) и / = (/і,..., /т) - базисы пространств VnW и пусть в пространствах VnW введены векторные нормы || • ||р, где р > 1 или р = оо, одинакового типа. Обозначим через ||Д||Р норму оператора А Є C(V1W)1 подчиненную векторным нормам || • ||р, через А = (akj) -матрицу оператора А в базисах ей/.
Теорема 71.6. Для любого оператора А Є C(V1W)
т
Mill = max E KjI-
l<j<nfc=l
Теорема 71.7. Для любого оператора А Є C(V1W)
п
\\А\\ос = max ? KjI-
1 <fc<m j = 1
Векторные нормы И • У 2 пространств V и W порождают спектральную норму оператора цдц2, так как векторная норма ||-||а совпадает с евклидовой нормой Il • У E і если в пространствах VnW ввести скалярные произведения так, чтобы базисы ей/ стали ортонормированными.
Евклидова норма оператора А Є C(V1 W)1 т.е. число
\\А\\Е = ^іт(А'А), обладает многими свойствами подчиненных норм.
1. Если А/е = (akj) - матрица оператора А в паре ортонормированных базисов ей/ пространств VnW соответственно, то
/ т п \ v2
мн* = (E Si^i2J
2. Свойство согласованности: \\Ах\\е < ||.Д||е||я||е для всех х Є V.
188
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
3. Свойство мультипликативности: \\АВ\\е < ||.А||е||#||е для всех линейных операторов Аи В, для которых определено произведение AB.
4. =tr АА\
5- \\А\\% = pi + ... + pn, где pi,..., рп - сингулярные числа оператора
' 6. > 1И||2.
7. И А И E не изменяется при умножении оператора А на ортогональные (унитарные) операторы.
Определения согласованной и подчиненной норм непосредственно распространяются на пространства матриц, рассматриваемых как линейные операторы в арифметических пространствах. Если, в частности, в арифметических пространствах введены нормы || • ||р, то соответствующая подчиненная норма матрицы А = (akj) размера п х п обозначается ||Л||Р и при этом в силу теорем 71.6, 71.7 и свойства 1 евклидовой нормы оператора:
т / т п
\\A\\i = max ? К|, \\А\\Е = ( E E ^
ЦАЦоо = max Y*K,|.
l<fc<m ' J = I
В большинстве задач этого параграфа участвуют матричные нормы, обладающие свойством мультипликативности. Как следует из задачи 71.13, такие нормы согласованы хотя бы с одной из векторных норм в пространствах Ш или Сп соответственно.
Теорема 71.8. Собственное значение линейного оператора А Є C(V, V) не превосходит по абсолютной величине любую его согласованную норму.
Пусть А - самосопряженный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве V и ei,..., еп - ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям
Ai > A2 > ... > An. (71.1)
Под нормой И • И будем понимать евклидову норму У • У E, так что если
х = ELi ХкЄк>т0 Nl = = (ELi 1ж*|2)1/2.
Теорема 71.9. Для самосопряженного оператора А Ai = max (Ах, х), An = min (Ах, х).
1|х|| = Г ||х|| = 1Ч
Эта теорема описывает экстремальные свойства и квадратичной формы в евклидовом (унитарном) пространстве: на единичной сфере квадратичная форма А(х,х) принимает экстремальные значения на тех векторах, которые являются собственными векторами соответствующего самосопряженного оператора (теорема 69.1).
Теорема 71.10. Если L - линейная оболочка собственных векторов etl,...,eifc (i\ < ... < ik) самосопряженного оператора А, отвечающих собственным значениям Ai1, • •., Aifc из (71.1), то
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!89
Теорема 71.11 (теорема Куранта-Фишера). Длл собственных значений (71.1) самосопряженного оператора А справедливо представление
Xk = max min (Ах.х),
Lk ||x|| = l,*€Lfc
где максимум берется по всевозможным к-мерным подпространствам Lk пространства V.
ЗАДАЧИ
71.1. Показать, что если M(A) - согласованная норма в пространстве C(V, W), то равенство N(A) = аМ(А) (а > 0) также будет нормой в этом пространстве, причем согласованной, если а > 1.
71.2. Показать, что для любой согласованной нормы M(A) в пространстве C(V, W) можно выбрать такую константу а0 > 0, для которой норма N(A) — а0М(А) не будет согласованной.
71.3. Показать, что если || Л|| - подчиненная норма в C(V, W), то N(A) = ot\\A\\ - согласованная норма, тогда и только тогда, когда а > 1.
71.4. Показать, что если норма M(A) в пространстве C(V, W) не является согласованной, то можно выбрать такую константу а > 1, для которой норма N(A) = аМ(А) будет согласованной.
71.5. Пусть V Ф W и норма M(A) в пространстве C(V, W) не является согласованной. Показать, что можно изменить норму или в пространстве V, или в пространстве W так, чтобы норма M(A) стала согласованной с новыми нормами пространств V и W. S
71.6. Показать, что для любой согласованной нормы N(A) в пространстве C(V, V) выполнено неравенство N(I) > 1.
